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Décomposition de Gauss

  Il s'agit d'un algorithme qui permet, étant donnée une forme quadratique sur Rn de rang r, de l'écrire comme somme et différence de carrés de r formes linéaires indépendantes. En particulier, la décomposition de Gauss permet de calculer la signature d'une forme quadratique.

  La méthode de Gauss est la suivante. On écrit d'abord la forme quadratique dans une base :
  • Premier cas : il existe un entier ai,i tel que ai,i n'est pas nul. On supposera pour nous qu'il s'agit de a1,1 et nous noterons ce coefficient a. On peut alors écrire Q sous la forme :
    où B est une forme linéaire en x2,...,xn, et C est une forme quadratique en les mêmes variables. Puis, on reconnait le début du développement d'un carré (mise sous forme canonique), et on écrit :
    On a donc écrit la forme quadratique comme somme du carré d'une forme linéaire et d'une forme quadratique où x1 n'intervient plus. Il suffit alors de réitérer la méthode de Gauss avec C-B2/(4a).
  • Deuxième cas : tous les ai,i sont nuls. Si Q est identiquement nulle, il n'y a bien sûr rien à faire. Sinon, un des ai,j, disons a=a1,2 est non nul, et on écrit Q sous la forme :
    où B et C sont des formes linéaires en x3,...,xn, et D est une forme quadratique en les mêmes variables. On factorise alors sous la forme suivante :
    Puis on utilise que uv=1/4[(u+v)2-(u-v)2] pour obtenir finalement :
    Il suffit alors d'itérer la méthode avec la forme quadratique D-BC/a, qui ne fait plus intervenir que x3,...,xn.
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