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Courbe gauche - Courbe plane

  Soit (I,f) un arc paramétré de l'espace R3 et C=f(I) la courbe paramétrée associée. On dit que C est une
  • courbe plane s'il existe un plan P de R3 tel que C est contenue dans P.
  • courbe gauche dans le cas contraire, c'est-à-dire si elle n'est jamais contenue dans un plan P de l'espace.
Par exemple, une hélice est une courbe gauche. A contrario, de nombreux phénomènes physiques conduisent à des courbes planes. Ainsi, la première loi de Kepler affirme que les planètes décrivent une courbe plane qui est une ellipse dont le soleil est un des foyers.

  Lorsque l'arc paramétré est birégulier, il existe un moyen pratique de déterminer si la courbe paramétrée associée est une courbe plane ou une courbe gauche.

Théorème : Soit (I,f) un arc paramétré birégulier de R3 et C=f(I) la courbe associée. C est une courbe plane si et seulement si

Autrement dit, la courbe paramétrée birégulière est plane si et seulement si le plan osculateur est le même en tout point de la courbe. La courbe est alors contenue dans ce plan.
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