$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Différentielle de Gateaux

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $f$ une application d'un ouvert $U$ de $E$ à valeurs dans $F$. On dit que f est différentiable au sens de Gateaux au point $a\in U$ s'il existe une application linéaire continue $L:E\to F$ telle que, pour tout $v\in E$, $$\lim_{t\to 0}\frac1t\big(f(a+tv)-f(a)\big)=L(v).$$ $L$ est alors appelée la différentielle de Gateaux de $f$ en $a$.

Cette notion est plus faible que la notion usuelle de différentiabilité, aussi appelée différentiabilité au sens de Fréchet. En effet, si $f$ est différentiable en $a$ au sens de Fréchet et si $L$ est sa différentielle, alors il existe une fonction $\varepsilon:\mathbb R_+\to\mathbb R$, avec $\varepsilon(x)\to 0$ si $x\to 0$, telle que, pour tout $v\in E$, $$\left|\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}-L(v)\right|\leq \varepsilon(|t|).$$ Si $f$ est différentiable en $a$ au sens de Gateaux, et si $L$ est sa différentielle, alors pour tout $v\in E$, il existe une fonction $\varepsilon_v:\mathbb R_+\to\mathbb R$, avec $\varepsilon_v(x)\to 0$ si $x\to 0$, telle que $$\left|\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}-L(v)\right|\leq \varepsilon_v(|t|).$$

Cette notion de différentiabilité a été introduite par Gateaux en 1913 afin d'établir une théorie de l'intégration en dimension infinie.
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique