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Différentielle de Gateaux

  Soient X et Y deux espaces vectoriels normés et f une application d'un ouvert U de E à valeurs dans F. On dit que f est différentiable au sens de Gateaux au point a de U s'il existe une application linéaire continue L:E->F telle que, pour tout v de E :

L est alors appelée la différentielle de Gateaux de f en a.

  Cette notion est plus faible que la notion usuelle de différentiabilité, aussi appelée différentiabilité au sens de Fréchet. En effet, si f est différentiable en a au sens de Fréchet et si L est sa différentielle, alors

Si f est différentiable en a au sens de Gateaux, et si L est sa différentielle, alors

Cette notion de différentiabilité a été introduite par Gateaux en 1913 afin d'établir une théorie de l'intégration en dimension infinie.
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