$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonction Gamma

  Le nombre "factorielle x", défini par x!=x×(x-1)×...×1, ne semble pas pouvoir exister pour un x autre qu'entier. Il existe toutefois une fonction qui prolonge naturellement la notion de factorielle aux réels, et même aux complexes.
Définition : Pour z un complexe de partie réelle strictement positive, on définit :
Par les théorèmes usuels, on prouve que est dérivable (holomorphe), et que la dérivée est obtenue en dérivant sous le signe somme. La relation fonctionnelle suivante est prouvée par intégration par parties :
C'est elle qui permet d'établir que :
  • La fonction Gamma est très importante pour les ingénieurs, car elle intervient dans le calcul de nombreuses transformées de Laplace. Il existe des tables à leur disposition donnant des valeurs approchées de .
  • Historiquement, la fonction a d'abord été introduite par Euler en 1729 comme limite d'un produit :
    Cette formule est appelée formule d'Euler.
  • D'autres formules liées à Gamma sont dans le formulaire.
    Consulter aussi...