$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Théorème de Fubini

Les théorèmes de Fubini et de Tonelli sont des théorèmes qui permettent de changer les ordres d'intégration dans les calculs d'intégrales de fonctions dépendant de plusieurs variables. Il en existe différentes versions.

Sur les segments
Théorème (Fubini) : Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]×[c,d]$ à valeurs dans $\mathbb C.$ Alors $$\int_a^b \left(\int_c^d f(x,y)dy\right)dx= \int_c^d \left(\int_a^b f(x,y)dx\right)dy.$$
Dans des espaces mesurés

Soit $(\Omega,\mathcal B,\mu)$ et $(\Omega',\mathcal B',\nu)$ des espaces mesurés $\sigma$-finis (on pourra penser à des ouverts de $\mathbb R^n$ par exemple munis de la mesure de Lebesgue).

Théorème (Tonelli) : Soit $f:\Omega\times\Omega'\to [0,+\infty]$ mesurable. Alors :
  • Pour tout $x\in\Omega,$ $y\mapsto f(x,y)$ est $\mathcal B'$-mesurable et $x\mapsto \int_{\Omega'}f(x,y)d\nu(y)$ est $\mathcal B$-mesurable.
  • Pour tout $y\in\Omega',$ $x\mapsto f(x,y)$ est $\mathcal B$-mesurable et $y\mapsto \int_{\Omega'}f(x,y)d\mu(x)$ est $\mathcal B'$-mesurable.
En outre on a $$\int_{\Omega\times\Omega'}f(x,y)d(\mu\otimes\nu)(x,y)=\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega'}f(x,y)d\nu(y)\right)d\mu(x)= \int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}f(x,y)d\mu(x)\right)d\nu(y)$$ où $\mu\otimes\nu$ est la mesure produit.
Théorème (Fubini) : Soit $f\in L^1(\Omega\times\Omega',\mu\otimes\nu)$ mesurable. Alors :
  • La fonction $x\mapsto \int_{\Omega'}f(x,y)d\nu(y)$ est définie pour presque tout $x$ et est dans $L^1(\Omega).$
  • La fonction $y\mapsto \int_{\Omega'}f(x,y)d\mu(x)$ est définie pour presque tout $y$ et est dans $L^1(\Omega').$
En outre on a $$\int_{\Omega\times\Omega'}f(x,y)d(\mu\otimes\nu)(x,y)=\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega'}f(x,y)d\nu(y)\right)d\mu(x)= \int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}f(x,y)d\mu(x)\right)d\nu(y)$$ où $\mu\otimes\nu$ est la mesure produit.

Alors que le théorème de Tonelli n'est vrai que pour des mesures $\sigma$-finies, le théorème de Fubini est encore valable lorsque les espaces mesurés sont complets (c'est-à-dire que tous les ensembles négligeables sont mesurables). Dans ce cas, on n'a pas forcément unicité de la mesure produit, et on peut utiliser dans l'énoncé précédent toute mesure produit.

Un contre-exemple

Le contre-exemple suivant prouve qu'il faut des hypothèses pour pouvoir permuter les intégrales. Considérons $f:]0,1[\times]0,1[\to\mathbb R$ définie par, pour $(x,y)\in]0,1[^2,$ $$f(x,y)=\frac{(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}.$$ Alors \begin{align*} \int_0^1 \left(\int_0^1 f(x,y)dy\right)dx&=\int_0^1\left(\int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy\right)dx\\ &=\int_0^1 \left[\frac{y}{x^2+y^2}{x^2+y^2}\right]_0^1 dx\\ &=\int_0^1 \frac{-1}{y^2+1}dy\\ &=-\frac{\pi}4. \end{align*} Par symétrie des rôles joués par $x$ et $y,$ on va trouver \begin{align*} \int_0^1 \left(\int_0^1 f(x,y)dy\right)dx=\frac{\pi}4 \end{align*} et donc $$\int_0^1\int_0^1 f(x,y)dydx \neq \int_0^1 \int_0^1 f(x,y)dxdy.$$

Ces théorèmes ont été énoncés et démontrés simultanément par Fubini et par Tonelli en 1907.
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