$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Théorème de Fubini

  Les théorèmes de Fubini et de Tonelli sont des théorèmes qui permettent de changer les ordres d'intégration dans les calculs d'intégrales de fonctions dépendant de plusieurs variables. Il en existe différentes versions.

Sur les segments
Théorème (Fubini) : Soit f une fonction continue sur [a,b]×[c,d] à valeurs dans C. Alors
Dans des espaces mesurés
  Soient et des espaces mesurés -finis (on pourra penser à des ouverts de Rn par exemple).

Théorème (Tonelli) : Soit mesurable. Alors :
  • Pour tout , est B'-mesurable et est B-mesurable.
  • Pour tout , est B-mesurable et est B'-mesurable.
En outre on a $$\int_{\Omega\times\Omega'}f(x,y)d(\mu\otimes\nu)(x,y)=\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega'}f(x,y)d\nu(y)\right)d\mu(x)= \int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}f(x,y)d\mu(x)\right)d\nu(y)$$ où $\mu\otimes\nu$ est la mesure produit.
Théorème (Fubini) : Soit mesurable. Alors :
  • La fonction est définie pour presque tout x et est dans .
  • La fonction est définie pour presque tout y et est dans .
En outre on a $$\int_{\Omega\times\Omega'}f(x,y)d(\mu\otimes\nu)(x,y)=\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega'}f(x,y)d\nu(y)\right)d\mu(x)= \int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}f(x,y)d\mu(x)\right)d\nu(y)$$ où $\mu\otimes\nu$ est la mesure produit.
Ces théorèmes ont été énoncés et démontrés simultanément par Fubini et par Tonelli en 1907.
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