$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Réduction de Frobenius

  La réduction de Frobenius (ou théorie des invariants de similitude) est une forme de réduction des endomorphismes assez éloignée dans son esprit de la diagonalisation ou de la trigonalisation. Son but n'est pas de donner une forme simple à la matrice de u pour autoriser des calculs faciles, mais de caractériser la classe des endomorphismes qui sont semblables à u. E désigne un K-espace vectoriel de dimension finie n.

Théorème : Soit u un endomorphisme de E. Il existe une suite F1,...,Fr de sous-espaces vectoriels de E, tous stables par u, telle que :
  1. Pour tout i de {1,...,r}, la restriction ui de u à Fi est un endomorphisme cyclique de Fi.
  2. Si Pi désigne le polynôme minimal de ui, alors Pi+1|Pi pour tout i de {1,...,r-1}.
La suite des polynômes P1,...,Pr ne dépend que de u et non du choix de la décomposition. On l'appelle suite des invariants de similitude de u.
Comme on sait réduire les endomorphismes cycliques, on obtient la réduction suivante pour tout endomorphisme (C(P) désigne la matrice compagnon du polynôme P).

Théorème (réduction de Frobenius) : Soit u un endomorphisme de E et P1,...,Pr la suite de ses invariants de similitude. Alors il existe une base de E telle que la matrice de u soit
Ainsi, deux endomorphismes sont semblables si et seulement si ils ont même invariants de similitude.
La théorie des invariants de similitude est un cas concret d'un théorème beaucoup plus général de structure des modules de type fini sur un anneau principal. A ce titre, c'est un théorème du même type que le théorème de structure des sous-groupes de Zn.
Consulter aussi...