$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Repère de Serret-Frénet

Cas des courbes dans un plan
  On considère un arc orienté (I,f) de classe C1 régulier (ie f'(t) n'est jamais nul). En chaque point M=f(t), l'arc possède donc une tangente dont un vecteur directeur est f'(t). On note

qui est le vecteur unitaire de la tangente orienté "dans le sens des t croissants".

  On note par ailleurs le vecteur obtenu en appliquant une rotation d'angle $\pi/2$ à . Alors, le repère est appelé repère de Frénet, ou repère de Serret-Frénet, ou base mobile, de l'arc au point M(t).

  Le repère de Frénet est notamment utile pour définir la courbure d'un arc paramétré.

Cas des courbes dans l'espace
  On considère un arc de l'espace (I,f) de classe C2 birégulier. On définit les trois vecteurs suivants :

Alors, le repère est appelé repère de Frénet de l'arc au point M(t). Il est utile pour définir la torsion de l'arc paramétré.
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