$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formules de Frénet

  On considère un arc régulier de classe C2, un paramétrage par l'abscisse curviligne, et le repère de Frénet au point M(s). Alors, la dérivée du vecteur tangente est colinéaire au vecteur normal, et on note

où c(s) est par définition la courbure de l'arc au point M(s). De plus, la dérivée du vecteur normal est elle-même colinéaire au vecteur tangent, selon la formule

  Il y a une autre façon d'interpréter la courbure en fonction de la variation de l'angle polaire au point M(s). En effet, le vecteur , qui est de norme 1, peut s'écrire

est défini modulo 2pi. Si on peut choisir une détermination de classe C1, alors la courbure en tout point M(s) vérifie

Autrement dit, la courbure mesure la vitesse de variation de l'angle polaire.

  Les trois formules $$\frac{d\vec T}{ds}=c\vec N,\ \frac{d\vec N}{ds}=-c \vec T\textrm{ et }\frac{d\alpha}{ds}=c$$ sont connues sous le nom de formules de Frénet.
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