$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formes positives, définies, non dégénérées

Soit E un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension finie, et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. On dit que $f$ est:

  • positive si pour tout $x$ de $E$, $f(x,x)\geq 0$.
  • définie si pour tout $x$ de $E$, $f(x,x)=0$ entraîne $x=0$.
  • définie positive si elle est définie et positive.
  • non-dégénérée si le seul vecteur $x$ tel que $f(x,y)=0$ pour tout $y$ de $E$ es le vecteur nul (autrement dit, seul le vecteur nul est orthogonal (selon $f$) à tous les vecteurs de l'espace).

Remarquons qu'une forme définie est forcément ou définie positive, ou définie négative (même définition en remplaçant $\geq$ par $\leq$). D'autre part, une forme définie est forcément non dégénérée. Ces définitions s'appliquent aussi aux formes hermitiennes définies sur un $\mathbb C$-espace vectoriel.