Formes différentielles exactes et fermées
On dit qu'une forme différentielle $\omega$ définie sur l'ouvert U de $\mathbb R^n$ est exacte s'il existe une application $f$ de classe $\mathcal C^1$ de $U$ dans $\mathbb R$ telle $\omega=df$. Une telle fonction $f$ s'appelle une primitive de $\omega$.
Le nom de primitive vient de la proposition suivante, qui permet parfois de calculer l'intégrale curviligne d'une forme différentielle.
On dit que la forme différentielle $\omega=\omega_1 dx_1+\cdots+\omega_n dx_n$ de classe $\mathcal C^1$ définie sur l'ouvert $U$ de $\mathbb R^n$ est fermée si elle vérifie $$\forall (i,j)\in\{1,\dots,n\}^2,\ \frac{\partial \omega_j}{\partial x_i}=\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j}.$$
Si $U$ est un ouvert du plan et que $\omega$ s'écrit $Pdx+Qdy,$ il n'y a qu'une relation à vérifier $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$$ Le théorème de Schwarz montre aisément qu'une forme différentielle exacte est fermée. La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple classique $$\omega=\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$$ qui est fermée sur $\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}$ (c'est un calcul très simple!) mais qui n'est pas exacte. En effet, son intégrale sur le cercle unité paramétré par $(\cos t,\sin t)$ vaut $$\int_C \omega=\int_0^{2\pi}\frac{-\sin(t)\cos'(t)+\cos(t)\sin'(t)}{\cos^2 t+\sin^2 t}dt=\int_0^{2\pi}1dt=2\pi$$ alors que l'on aurait obtenu 0 si elle était exacte. Cependant, pour de nombreux ouverts, les formes différentielles exactes et fermées coïncident: