$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formes différentielles exactes et fermées

Définition : On dit qu'une forme différentielle définie sur l'ouvert U de Rn est exacte s'il existe une application f de classe C1 de U dans R telle que . Une telle fonction f s'appelle une primitive de .

  Le nom de primitive vient de la proposition suivante, qui permet parfois de calculer l'intégrale curviligne d'une forme différentielle.
Prop : Si f est une primitive de et si est un arc paramétré de U, alors on a :

Définition : On dit que la forme différentielle de classe C1 définie sur l'ouvert U de Rn est fermée si elle vérifie

Si U est un ouvert du plan et que s'écrit Pdx+Qdy, il n'y a qu'une relation à vérifier
Le théorème de Schwarz montre aisément qu'une forme différentielle exacte est fermée. La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple classique
qui est fermée sur R2\{(0,0)} (c'est un calcul très simple!) mais qui n'est pas exacte. En effet, son intégrale sur le cercle unité paramétré par (cos t,sin t) vaut
alors que l'on aurait obtenu 0 si elle était exacte. Cependant, pour de nombreux ouverts, les formes différentielles exactes et fermées coïncident:
Théorème de Poincaré : Sur un ouvert étoilé, toute forme différentielle fermée est exacte.
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