$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formes différentielles exactes et fermées

On dit qu'une forme différentielle $\omega$ définie sur l'ouvert U de $\mathbb R^n$ est exacte s'il existe une application $f$ de classe $\mathcal C^1$ de $U$ dans $\mathbb R$ telle $\omega=df$. Une telle fonction $f$ s'appelle une primitive de $\omega$.

Le nom de primitive vient de la proposition suivante, qui permet parfois de calculer l'intégrale curviligne d'une forme différentielle.

Proposition : Si $f$ est une primitive de $\omega$ et si $\gamma:[a,b]\to U$ est un arc paramétré de $U$, alors on a : $$\int_\gamma \omega=f(\gamma(b))-f(\gamma(a)).$$

On dit que la forme différentielle $\omega=\omega_1 dx_1+\cdots+\omega_n dx_n$ de classe $\mathcal C^1$ définie sur l'ouvert $U$ de $\mathbb R^n$ est fermée si elle vérifie $$\forall (i,j)\in\{1,\dots,n\}^2,\ \frac{\partial \omega_j}{\partial x_i}=\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j}.$$

Si $U$ est un ouvert du plan et que $\omega$ s'écrit $Pdx+Qdy,$ il n'y a qu'une relation à vérifier $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$$ Le théorème de Schwarz montre aisément qu'une forme différentielle exacte est fermée. La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple classique $$\omega=\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$$ qui est fermée sur $\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}$ (c'est un calcul très simple!) mais qui n'est pas exacte. En effet, son intégrale sur le cercle unité paramétré par $(\cos t,\sin t)$ vaut $$\int_C \omega=\int_0^{2\pi}\frac{-\sin(t)\cos'(t)+\cos(t)\sin'(t)}{\cos^2 t+\sin^2 t}dt=\int_0^{2\pi}1dt=2\pi$$ alors que l'on aurait obtenu 0 si elle était exacte. Cependant, pour de nombreux ouverts, les formes différentielles exactes et fermées coïncident:

Théorème de Poincaré : Sur un ouvert étoilé, toute forme différentielle fermée est exacte.
Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique