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Formes différentielles (version élémentaire)

Définition : Soit U un ouvert de Rn. On appelle forme différentielle de classe Ck sur U toute application de classe Ck de U vers le dual (Rn)* de Rn.


  Les formes linéaires coordonnées sont en général notées dx1,...,dxn. Ceci signifie que si x=(x1,...,xn), dxi(x)=xi. Ainsi, si est une forme différentielle, elle peut s'écrire de façon unique
où les sont des fonctions scalaires.

  Les formes différentielles généralisent la notion de différentielle d'une fonction de plusieurs variables. En effet, si f est une fonction différentiable sur un ouvert U de Rn, à valeurs dans R, sa différentielle en un point x de U est une application linéaire de Rn dans R, c'est-à-dire un élément du dual (Rn)*. Ainsi, l'application est une forme différentielle particulière. Dans la base précédente, elle s'écrit
Toutes les formes différentielles ne sont pas des différentielles de fonctions. Celles qui le sont sont appelées exactes.