$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonction génératrice d'une variable aléatoire discrète

Définition : Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb N$. On appelle fonction génératrice de $X$ la série entière suivante : $$G_X(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(X=n)t^n.$$
Le rayon de convergence de la série entière précédente est supérieur ou égal à $1$. $G_X$ définit donc une fonction de classe $\mathcal C^\infty$ sur $]-1,1[$. Elle est en fait continue sur l'intervalle fermé $[-1,1]$.

Exemples :
  • Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$, alors $$G_X(t)=(1-p)+pt.$$
  • Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n,p$, alors $$G_X(t)=\big((1-p)+pt)^n.$$
  • Si $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$, alors $$G_X(t)=\frac{pt}{1-(1-p)t}.$$
  • Si $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$, alors $$G_X(t)=e^{-\lambda}e^{\lambda t}.$$
  La fonction génératrice caractérise la loi d'une variable aléatoire :
Théorème : Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb N$ telles que, pour tout $t\in ]-1,1[$, $G_X(t)=G_Y(t)$, alors $X$ et $Y$ ont la même loi.
  La fonction génératrice permet également de retrouver la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes :
Théorème : Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb N$ indépendantes, alors, pour tout $t\in ]-1,1[$, $G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t)$.
  Enfin, la fonction génératrice permet de retrouver les moments d'une variable aléatoire :
Théorème : Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb N$. Alors
  • $X$ admet une espérance si et seulement si $G_X$ est dérivable en $1$. Dans ce cas, $G_X'(1)=E(X)$;
  • $X$ admet une variance si et seulement si $G_X$ est deux fois dérivable en $1$. Dans ce cas, $V(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-\big(G_X'(1)\big)^2.$
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