$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Topologie plus ou moins fine que...


  Soit E un ensemble que l'on peut munir de deux topologies O1 et O2. La topologie définie par O1 est plus fine que la topologie définie par O2 si elle a plus d'ouverts, ie si tout ouvert de O2 est un ouvert de O1. On définit ainsi une relation d'ordre sur toutes les topologies de E. On a la caractérisation suivante :

Prop : O1 est plus fine que O2 ssi l'application Id, de E muni de O1 dans E muni de O2 est continue.

Exs :

  • la topologie discrète : Pour cette topologie, tout singleton est ouvert, plus généralement tout ensemble est ouvert. C'est la topologie la plus fine qu'on peut mettre sur un ensemble.
  • la topologie grossière : Ses seuls ouverts sont l'ensemble vide et l'ensemble tout entier; c'est la topologie la moins fine qu'on peut mettre sur un ensemble.

  L'intersection de deux topologies est une topologie. On peut ainsi définir sur un ensemble la topologie la moins fine vérifiant une certaine propriété. C'est ainsi qu'on définit la topologie produit. Si (Ei,Oi) sont des espaces topologiques, et E est le produit cartésien des Ei, la topologie produit sur E est la topologie la moins fine telle que les projections pi : E -> Ei sont continues.

Consulter aussi...