$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Filtre

On appelle filtre sur un ensemble $E$ une famille non-vide $\mathcal F$ de parties de $E$ vérifiant :

  • $A,B\in\mathcal F\implies A\cap B\in\mathcal F$;
  • $A\in\mathcal F$ et $A\subset B\implies B\in\mathcal F$;
  • $\varnothing\notin\mathcal F$.

Ex : Pour $E=\mathbb N$, $\mathcal F=\{A\subset\mathbb N;\ A^c\textrm{ fini}\}$ est un filtre, appelé le filtre de Fréchet. En effet :

  • Si $A^c$ est fini et $B^c$ sont finis, alors $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$ est fini.
  • Si $A^c$ est fini et $A\subset B$, alors $B^c$ est fini.
  • $\varnothing^c=\mathbb N$ n'est pas fini.

Les filtres interviennent en topologie lorsque la notion de suite devient insuffisante. On parle alors de suite généralisée. On a par exemple la définition suivante : soit $X$ un espace topologique, $E$ un ensemble muni d'un filtre $\mathcal F$. Une famille $(x_\alpha)_{\alpha\in E}\subset X^E$ converge vers $\ell\in X$ suivant le filtre $\mathcal F$ si, pour tout $V$ voisinage de $\ell$, il existe $F\in\mathcal F$ tel que, pour tout $\alpha\in F$, $x_\alpha\in V.$ Si $E=\mathbb N$ et si $\mathcal F$ est le filtre précédent, on retrouve la définition de la convergence d'une suite.

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