$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle}
$$
Bibm@th
Filtration
Sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$, on appelle
filtration toute suite croissante $(\mathcal F_n)$ de sous-tribus de $\mathcal F$.
La notion de filtration représente l'évolution de l'information au cours du temps. Imaginons
par exemple qu'on lance trois fois de suite une même pièce de monnaie. L'univers associé est
$$\Omega=\{(P_1,P_2,P_3);(P_1,P_2,F_3),\dots\}.$$
Il contient les $2^3=8$ issues possibles de l'expérience. La tribu associée est la tribu engendrée
par tous les éléments de $\Omega$ : c'est donc $\mathcal P(\Omega)$. Maintenant, si on s'intéresse
à l'information dont on dispose après le premier lancer, il est impossible de distinguer
les issues $(P_1,P_2,P_3)$, $(P_1,P_2,F_3)$ et $(P_1,F_2,P_3)$ par exemple. La tribu $\mathcal P(\Omega)$
n'est plus adaptée. La tribu la plus naturelle est la tribu $\mathcal F_1$ engendrée par les deux ensembles
$$\{(P_1,P_2,P_3), (P_1,P_2,F_3), (P_1,F_2,P_3), (P_1,F_2,F_3)\}\textrm{ et }\{(F_1,P_2,P_3), (F_1,P_2,F_3), (F_1,F_2,P_3), (F_1,F_2,F_3)\}.$$
Si on s'intéresse ensuite à l'information disponible après le deuxième lancer, on pourra distinguer
les événements $(P_1,P_2,P_3)$ et $(P_1,F_2,P_3)$, mais pas les événéments $(P_1,P_2,P_3)$ et $(P_1,P_2,F_3)$. La tribu correspondante est
la tribu engendrée par les quatre ensembles :
$$\{(P_1,P_2,P_3), (P_1,P_2,F_3)\}, \{(P_1,F_2,P_3), (P_1,F_2,F_3)\}, \{(F_1,P_2,P_3), (F_1,P_2,F_3)\}\textrm{ et } \{(F_1,F_2,P_3), (F_1,F_2,F_3)\}.$$
Si on pose $\mathcal F_3=\mathcal P(\Omega)$, tribu bien adaptée lorsqu'on a effectué les trois lancers, la suite $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2\subset
\mathcal F_3$ est une filtration bien adaptée à l'expérience.
