$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Filtration

  Sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$, on appelle filtration toute suite croissante $(\mathcal F_n)$ de sous-tribus de $\mathcal F$.

  La notion de filtration représente l'évolution de l'information au cours du temps. Imaginons par exemple qu'on lance trois fois de suite une même pièce de monnaie. L'univers associé est $$\Omega=\{(P_1,P_2,P_3);(P_1,P_2,F_3),\dots\}.$$ Il contient les $2^3=8$ issues possibles de l'expérience. La tribu associée est la tribu engendrée par tous les éléments de $\Omega$ : c'est donc $\mathcal P(\Omega)$. Maintenant, si on s'intéresse à l'information dont on dispose après le premier lancer, il est impossible de distinguer les issues $(P_1,P_2,P_3)$, $(P_1,P_2,F_3)$ et $(P_1,F_2,P_3)$ par exemple. La tribu $\mathcal P(\Omega)$ n'est plus adaptée. La tribu la plus naturelle est la tribu $\mathcal F_1$ engendrée par les deux ensembles $$\{(P_1,P_2,P_3), (P_1,P_2,F_3), (P_1,F_2,P_3), (P_1,F_2,F_3)\}\textrm{ et }\{(F_1,P_2,P_3), (F_1,P_2,F_3), (F_1,F_2,P_3), (F_1,F_2,F_3)\}.$$ Si on s'intéresse ensuite à l'information disponible après le deuxième lancer, on pourra distinguer les événements $(P_1,P_2,P_3)$ et $(P_1,F_2,P_3)$, mais pas les événéments $(P_1,P_2,P_3)$ et $(P_1,P_2,F_3)$. La tribu correspondante est la tribu engendrée par les quatre ensembles : $$\{(P_1,P_2,P_3), (P_1,P_2,F_3)\}, \{(P_1,F_2,P_3), (P_1,F_2,F_3)\}, \{(F_1,P_2,P_3), (F_1,P_2,F_3)\}\textrm{ et } \{(F_1,F_2,P_3), (F_1,F_2,F_3)\}.$$ Si on pose $\mathcal F_3=\mathcal P(\Omega)$, tribu bien adaptée lorsqu'on a effectué les trois lancers, la suite $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2\subset \mathcal F_3$ est une filtration bien adaptée à l'expérience.