$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Suite de Fibonacci

  Enfermez un couple de lapins dans un enclos. Le premier mois de leur vie, il n'ont pas d'enfants. Tous les mois suivants, ils enfantent un couple de lapins. Chaque couple né agit alors de la même façon : le mois suivant sa naissance, il ne donne pas d'enfants, mais chaque mois, ensuite, il enfante un couple. Et ainsi de suite. Le problème que le mathématicien italien pose est de savoir quel est le nombre de couples de lapins le n-ième mois? Ce nombre, que nous noterons $u_n$, conduit à la suite de Fibonacci.

  La suite de Fibonacci est la suite définie par la relation de récurrence suivante : $$u_{n+1}=u_n+u_{n-1}.$$ En effet, le (n+1)-ème mois, tous les couples qui vivaient le mois précédent sont encore en vie, et les couples nés au moins deux mois avant (c'est-à-dire tous les couples vivant le mois (n-1) enfantent un couple). Cette relation de récurrence est initiée par les deux premiers termes, qui sont $u_0=0$ et $u_1=1$. Les premiers termes de la suite de Fibonacci sont :
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…
  Il se trouve que l'on rencontre très souvent ces nombres dans la nature, par exemple en observant une fleur de tournesol, ou certains coquillages. Ce qui fait dire que d'assez nombreux phénomènes naturels sont commandés par une relation de récurrence du type de celui de la suite de Fibonacci.

  La suite de Fibonacci est liée au nombre d'or, car on peut montrer que la suite de Fibonacci est équivalente, pour n grand, à la puissance n-ième du nombre d'or.

  On rencontre parfois la définition de suites de Fibonacci généralisées. Ce sont les suites qui vérifient une relation de récurrence double du type $u_{n+1}=au_n+bu_{n-1}$.
Consulter aussi...