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Petit théorème de Fermat

  Le "petit" théorème de Fermat est l'énoncé suivant :

Théorème : Soit p un nombre premier, et a un entier premier avec p. Alors ap-1 a pour reste 1 dans la division par p :
ap-1=1 mod p

  Il existe plusieur preuves classiques de ce théorème. La plus élémentaire repose sur une petite propriété des coefficients binomiaux :
  • Si p est un entier premier, et si k est un élément de {1,...,p-1}, alors
    Ceci se démontre en écrivant la définition du coefficient binomial, et en utilisant le lemme de Gauss.
  • On prouve ensuite par récurrence sur a que p divise ap-a. C'est évident pour a=1, prouvons-le pour a=2. On a, par la formule du binôme de Newton,
    puisque p divise chaque terme apparaissant sous le signe somme. C'est bien que p divise 2p-p. Le passage de a à a+1 est similaire, et on déduit la version annoncée du petit théorème de Fermat en utilisant encore une fois le théorème de Gauss.
  Une preuve plus théorique repose sur les propriétés des groupes Z/pZ ou sur des études plus fines des éléments premiers avec un entier n. Elle peut se généraliser facilement pour donner une théorème valable même pour des entiers non-premiers, en utilisant l'indicatrice d'Euler.

Fermat cite ce résultat dans une lettre de 1640, mais il ne le prouve pas. Les premières preuves sont dues à Euler et à Leibniz.
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