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Grand théorème de Fermat

  Le théorème de Pythagore, tout le monde connait! Le carré de l'hypoténuse vaut la somme des carrés des deux autres côtés. D'autre part, il existe des triangles rectangles dont les 3 côtés sont des entiers, par exemple, 3,4,5. En d'autres termes, on a $5^2=3^2+4^2$. Ainsi, l'équation $x^2+y^2=z^2$ où x,y et z sont des entiers, a des solutions. Maintenant, si on considère une petite variation de cette équation, par exemple $x^3+y^3=z^3$ ou $x^n+y^n=z^n$, avec $n$ strictement plus grand que 2, il n'est plus si facile de trouver des solutions.

  Au XVIIè siècle, alors que les mathématiques ont un regain d'intérêt en Europe, le juge toulousain Pierre de Fermat consacrait beaucoup de son temps libre à étudier l'Arithmetica de Diophante. Dans un passage consacré au théorème de Pythagore, Fermat étudia la variante décrite ci-dessus. En marge de son exemplaire de l'Arithmetica, à la suite du problème 8, il nota ainsi l'observation suivante :
Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.
Il est impossible pour un cube d'être écrit comme la somme de deux cubes ou pour une quatrième puissance d'être écrite comme la somme de deux quatrièmes puissances ou, en général, pour n'importe quel nombre égal à une puissance supérieure à deux d'être écrit comme la somme de deux puissances semblables.
Quelques lignes plus bas, il inscrivit :
Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet
J'ai une démonstration véritablement merveilleuse de cette proposition, que cette marge est trop étroite pour contenir.
Autrement dit, le théorème de Fermat est le théorème suivant :
Théorème : Soit $n\geq 3$ un entier. Les solutions de $x^n+y^n=z^n$, où $x,y$ et $z$ sont des entiers, vérifient toutes $xyz=0$.
  On ne retrouva jamais la "preuve" de Fermat (tout indique qu'il n'en avait d'ailleurs pas), et cette énigme, montrer que $x^n+y^n=z^n$ n'a pas de solutions entières non triviales pour $n\geq 3$, fut une des plus grandes énigmes qui agita le monde des mathématiciens pendant 4 siècles.

  Le cas n=4 fut rapidement résolu (par Fermat lui-même, en utilisant la méthode de la descente infinie). Le premier progrès important fut ensuite réalisé par Euler, près d'un siècle plus tard, qui en utilisant les nombres complexes vint à bout du cas n=3. Il fallut attendre encore 75 ans pour que Sophie Germain, Dirichlet et Legendre prouvent le cas n=5. Quatorze ans plus tard, Lamé enrichit encore la méthode pour traiter le cas n=7. De nombreux travaux continuèrent sur ce problème, permettant des avancées considérables en mathématiques. Mais il fallut attendre 1996, et le mathématicien anglais Andrew Wiles, pour trouver une réponse définitive. Au fait, Fermat avait raison! Il n'y pas de solutions à cette fameuse équation. Ce qui fut longtemps appelée la conjecture de Fermat, ou le dernier théorème de Fermat, s'appelle désormais théorème de Fermat-Wiles.

Pour en savoir plus sur l'aventure du théorème de Fermat, on recommande la lecture de Le dernier théorème de Fermat, de Simon Singh, publié chez Lattès et chez Hachette Littératures. A un niveau très supérieur, celui qui s'intéresse au type de mathématiques nécessaires pour la démonstration du théorème de Fermat pourra lire Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles d'Yves Hellegouarch.
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