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Théorème de Fejér

  Pour certaines fonctions continues f, la série de Fourier de f ne converge par vers f. Il est intéressant de se demander ce qui se passe lorsqu'on réalise la moyenne de Cesàro des sommes partielles. On obtient le résultat suivant, dû à Fejér :

Théorème : Soit f une fonction continue 2pi-périodique, on note Sn(f) la n-ième somme partielle de la série de Fourier de f, et la N-ième moyenne de Césaro de ces sommes partielles, c'est-à-dire :
Alors converge uniformément vers f sur R.

C'est un théorème très intéressant : c'est un résultat positif de convergence ponctuelle dans la théorie des séries de Fourier, qui permet par exemple de démontrer la densité des polynômes trigonométriques dans l'ensemble des fonctions continues 2pi-périodiques.
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