$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Lemme de Farkas

  Si $E$ est un espace vectoriel, si $f_1,\dots,f_n,g$ sont des formes linéaires sur $E$ telles que $$\bigcap_{i=1}^n \ker f\subset \ker g,$$ alors un résultat classique d'algèbre linéaire nous dit que $g$ est combinaison linéaire de $f_1,\dots,f_n$, c'est-à-dire que $g$ s'écrit $$g=\alpha_1 f_1+\dots+\alpha_n g_n.$$ Le lemme de Farkas est l'analogue de ce résultat en analyse convexe. Les noyaux sont ici remplacés par le cône des élements de $E$ où la forme linéaire est positive.

Théorème : Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, soient $f_1,\dots,f_n,g$ des formes linéaires sur $E$. Alors $$\{x\in E;\ f_1(x)\geq 0,\dots, f_n(x)\geq 0\}\subset \{x\in E;\ g(x)\geq 0\}$$ si et seulement s'il existe $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ tels que $$g=\alpha_1 f_1+\dots+\alpha_n g_n.$$