$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Famille sommable

  Soit $I$ un ensemble et $(a_i)_{i\in I}$, une famille d'éléments de $\mathbb C$. On cherche à donner un sens à
On va s'aider pour cela des sommes finies et on note, pour tout partie finie $J$ de $I$,

Définition :
  • si les $a_i$ sont tous positifs, on dit que la famille $(a_i)$ est sommable si l'ensemble
    est majoré. Dans ce cas, la borne supérieure de l'ensemble est notée
    et s'appelle somme de la famille.
  • Dans le cas général, on dit que $(a_i)$ est sommable si $(|a_i|)$ est sommable.
  Pour définir la somme d'une famille sommable de réels $(a_i)$ (pas nécessairement positifs), on procède comme suit : on pose $$a_i^+=\max(a_i,0)\textrm{ et }a_i^-=\max(-a_i,0).$$ La sommabilité de $(a_i)_{i\in I}$ entraînent celles de $(a_i^+)_{i\in I}$ et $(a_i^-)_{i\in I}$. On appelle alors somme de la famille $(a_i)_{i\in I}$ le réel $$\sum_{i\in I}a_i=\sum_{i\in I}a_i^+-\sum_{i\in I}a_i^-.$$

Propriétés :
  • Une famille indexée par $\mathbb N$ est sommable si et seulement si la série est absolument convergente. Dans ce cas, la somme de la famille sommable et la somme de la série coïncident.
  • Si $(a_i)_{i\in I}$ est sommable, alors $\{i\in I;\ a_i\neq 0\}$ est dénombrable.
Ainsi, la théorie des familles sommables est en fait très proche de celle des séries absolument convergentes.