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Factorielle d'un entier - Formule de Stirling

La factorielle d'un entier $n$ est le nombre entier noté $n!$ défini par la formule : $$n!=1\times 2\times \dots\times (n-1)\times n.$$ C'est une notion qui intervient beaucoup en combinatoire, lorsqu'on compte le nombre d'éléments d'un ensemble.

Il est en général difficile de calculer $n!$ pour de grandes valeurs de $n$. Mais il existe une formule célèbre, la formule de Stirling, qui en donne un ordre de grandeur en fonction de quantités ne faisant intervenir que des puissances : $$n!\sim_{+\infty}\sqrt{2\pi n}e^{-n}n^n.$$

Méditons un instant sur cette formule. Deux des nombres les plus étranges des mathématiques, e et pi, transcendants, se rejoignent pour donner une très bonne approximation d'un entier naturel!!!

Remarquons que 7!=5040 : ce nombre est particulièrement intéressant, puisqu'il correspond, selon Platon (livre 5 des Lois), à la population idéale d'une cité. En effet, 5040 admet 58 diviseurs propres, et il est extrêmement facile de partager la population en groupes de toutes tailles pour la distribution des terres, le paiement des impôts, etc... Platon ignorait sûrement que 7560 et 9240 ont chacun 62 diviseurs, ce qui est le maximum possible pour des nombres de moins de 5 chiffres!

Signalons aussi que la formule de Stirling est en fait bien mal-nommée! Elle apparait pour la première fois en 1730 dans les travaux de De Moivre. Stirling a donné la même année une approximation plus poussée (avec un développement asymptotique à 5 termes au lieu d'un équivalent), et il a fait beaucoup pour sa popularisation.

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