Extremum, minimum, et maximum d'une fonction - Maximum dans un ensemble ordonné
Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a\in I$. On dit que $f$ admet un maximum en $a$ si, pour tout $x\in I$, $f(x)\leq f(a)$. On dit que $f$ admet un minimum en $a$ si, pour tout $x\in I$, $f(x)\geq f(a)$. On parle parfois de maximum ou de minimum global de la fonction, et on dit que $f(a)$ est le maximum (resp. le minimum) de $f$ sur $I$. On dit aussi que $m$ est un extremum de $f$ si c'est un maximum ou un minimum.
On dit que $f$ admet un maximum local (ou relatif) en $a$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $a$ tel que, pour tout $x\in J\cap I$, on a $f(x)\leq f(a)$. On définit de même un minimum local en inversant le sens de l'inégalité. Un extremum local est un maximum ou un minimum local.
Exemple: On considère la fonction $f:I\to\mathbb R$ avec $I=[-3,3]$ dont la courbe représentative est la suivante.
- $f$ admet un minimum local en $-3$ : si je choisis l'intervalle $J=]-4,-2[$, alors pour tout $x\in I\cap J=[-3,-2[$, on a $f(x)\geq f(-3)$.
- $f$ admet un maximum local en $-2$.
- $f$ admet un minimum global, et donc local, en $1$.
- $f$ admet un maximum global, et donc local, en $3$.
Soit $f:E\to\mathbb R$ une fonction définie sur un ensemble $E$ et soit $a\in E$. On dit que $f$ admet un maximum en $a$ si, pour tout $x\in E$, $f(x)\leq f(a)$. On dit que $f$ admet un minimum en $a$ si, pour tout $x\in E$, $f(x)\geq f(a)$. On parle parfois de maximum ou de minimum global de la fonction, et on dit que $f(a)$ est le maximum (resp. le minimum) de $f$ sur $E$. On dit aussi que $a$ est un extremum de $f$ si c'est un maximum ou un minimum.
Lorsque $E$ est muni d'une distance ou d'une norme, on peut aussi définir les extrema locaux. On dit que $f$ admet un maximum local (ou relatif) en $a$ s'il existe un voisinage $V$ de $a$ dans $E$ tel que, pour tout $x\in V$, on a $f(x)\leq f(a)$. On définit de même un minimum local en inversant le sens de l'inégalité. Un extremum local est un maximum ou un minimum local.
La recherche des extrema est liée au calcul différentiel, grâce notamment au théorème suivant.
La réciproque de ce théorème est fausse comme le montre l'exemple de la fonction cube, dont la dérivée s'annule en $0$, mais qui ne possède pas d'extremum en ce point. En général, on étudie la fonction, et notamment le signe de $f'$, pour déterminer si $a$ est effectivement un extremum, et si c'est un maximum ou un minimum.
Pour les fonctions de plusieurs variables, on remplace la dérivée par la différentielle et on affine l'étude avec les dérivées partielles secondes. On a ainsi le résultat suivant.
- si $f$ est différentiable, et si $f$ admet un extremum local en $a$, alors $$\frac{\partial f}{\partial x}(a)=0\textrm{ et }\frac{\partial f}{\partial y}(a)=0.$$ On dit alors que $a$ est un point stationnaire ou point critique de $a$.
- si $f$ est de classe $C^2$, et si $a$ est un point stationnaire de $f$, on pose
$$r=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a),\ s=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a),\ t=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a).$$
On distingue les cas suivants :
- Si $rt-s^2>0$ et $r>0$, $f$ admet un minimum relatif en $a$.
- Si $rt-s^2>0$ et $r<0$, $f$ admet un maximum relatif en $a$.
- Si $rt-s^2<0$, $f$ n'admet pas d'extremum en $a$, on parle de point col, ou de point selle.
- Si $rt-s^2=0$, on ne peut pas conclure.
Enfin, dans le cas où on recherche des extrema suivant certaines contraintes (on parle d'extrema liés), on utilise souvent la méthode des multiplicateurs de Lagrange.