Extrémum, minimum, et maximum d'une fonction - Maximum dans un ensemble ordonné

Analyse -- Fonctions d'une variable réelle
Analyse -- Fonctions de plusieurs variables

Extrémum, minimum, et maximum d'une fonction
  On dit qu'une fonction f définie sur un ensemble E à valeurs dans R admet un maximum en aE si, pour tout x de E, on a : f(x)f(a). On parle alors aussi parfois de maximum global, et on dit que f(a) est le maximum de f.
Si E est muni d'une distance, ou d'une norme, on dit que f admet un maximum local, ou maximum relatif en a s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout x de V, on a f(x)f(a).
Bien sûr, en changeant les inégalités de sens, on peut définir un minimum. Un extrémum est un maximum ou un minimum. Etudions l'exemple suivant :
  Dans l'exemple suivant, f admet en -1.5 un minimum local, en 1 un minimum global, en -1 un maximum local, et en 2 un maximum global.

   La recherche des extréma est liée au calcul différentiel. Ainsi, si f est défini sur un intervalle I de R, et si f est dérivable en a, alors f'(a)=0. L'étude du signe de f' au voisinage de a permet souvent de conclure quant à l'existence d'un maximum ou d'un minimum. Dans le cas où f est défini sur Rn, on étudie cette fois la différentielle, et les dérivées partielles secondes. Le théorème suivant où f va de R2 dans R est classique.

  • Si fest différentiable en a, et si f admet un extrémum en a, alors :
    On dit alors que le point a est un point stationnaire, ou un point critique.
  • Si f est C2, et que a est un point stationnaire, on pose :
    On distingue les cas suivants :
    • Si rt-s2>0 et r>0, f admet un minimum relatif en a.
    • Si rt-s2>0 et r<0, f admet un maximum relatif en a.
    • Si rt-s2<0, f n'admet pas d'extrémum en a, on parle de point col, ou de point selle.
    • Si rt-s2=0, on ne peut pas conclure.
Enfin, dans le cas où on recherche des extrema suivant certaines contraintes (on parle d'extrema liés), on utilise souvent la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Maximum dans un ensemble ordonné
On renvoie à l'article " Relation d'ordre, ensemble ordonné ".
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