$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Extrema liés - Multiplicateurs de Lagrange

On parle d'extrémum lié lorsqu'on cherche à maximiser ou minimiser une fonction de plusieurs variables $f(x_1,\dots,x_n)$ lorsque ces variables sont liées par certaines relations. Un théorème général permet bien souvent de résoudre le problème de la recherche des extrema liés.

Théorème : Soient $f,g_1\dots,g_p$ des fonctions de classe $\mathcal C^1$ sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$, à valeurs dans $\mathbb R$ et $X$ l'ensemble défini par : $$X=\{x\in U;\ g_1(x)=\cdots=g_p(x)=0\}.$$ Si la restriction de $f$ à $X$ admet un extrémum local en $a$, et si les différentielles $dg_1(a),\dots, dg_p(a)$ sont des formes linéaires indépendantes, alors il existe des réels $c_1,\dots,c_p$ tels que : $$df(a)=c_1dg_1(a)+\dots+c_p dg_p(a).$$ Ces réels $c_1,\dots,c_p$ sont appelés multiplicateurs de Lagrange.


Ce théorème a une interprétation géométrique naturelle. Prenons un arc $\gamma$ tracé sur $X$ avec $\gamma(0)=0$. La fonction (d'une variable réelle) $f\circ\gamma$ admet un extrémum local en $0$, d'où l'on tire : $$(f\circ\gamma)'(0)=df(a)(\gamma(0))=0.$$

Maintenant, $\gamma'(0)$ est un vecteur tangent à $X$ en $a$, et en fait tous les vecteurs tangents à $X$ en $a$ s'obtiennent de cette façon. Ainsi, $df(a)(v)=0$ pour tout vecteur $v$ tangent à $X$ en $a$. Mais l'ensemble de ces vecteurs tangents est l'intersection des noyaux de $dg_i(a)$ et l'inclusion $$\ker df(a)\supset\bigcap_{i=1}^p \ker dg_i(a)$$ entraine la relation du théorème par un résultat élémentaire d'algèbre linéaire.


Exemple

Cherchons le maximum de la fonction $$f(x)=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$$ sur l'ensemble défini par $$X=\left\{x_1\geq 0,\dots,x_n\geq 0,\ \frac{x_1+\cdots+x_n}n=1\right\}.$$

En un point où le maximum est atteint, on a forcément $x_i\geq 0$ et on peut appliquer le théorème précédent avec $g(x)=(x_1+\dots+x_n)/n)$. On obtient $$\exists \lambda\in\mathbb R,\ df(a)=\lambda dg(a).$$ Mais $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=\frac 1n\frac{f(a_i)}{a_i}$$ et $$\frac{\partial g}{\partial x_i}(a)=\frac 1n$$ ce qui entraîne $$f(a)=\lambda a_1=\cdots=\lambda a_n.$$ En particulier, on obtient que tous les $a_i$ sont égaux et qu'il sont tous égaux à 1. Ainsi, sur $X$, on a $f(x)\leq 1$. Par homogénéité, on obtient l'inégalité des moyennes arithmétiques et géométriques $$\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\leq \frac{x_1+\cdots+x_n}n.$$

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