$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Extrema liés - Multiplicateurs de Lagrange

  On parle d'extrémum lié lorsqu'on cherche à maximiser ou minimiser une fonction de plusieurs variables f(x1,...,xn) lorsque ces variables sont liées par certaines relations. Un théorème général permet bien souvent de résoudre le problème de la recherche des extrema liés.


Théorème : Soient $f,g_1\dots,g_p$ des fonctions de classe $\mathcal C^1$ sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$, à valeurs dans $\mathbb R$ et $X$ l'ensemble défini par : $$X=\{x\in U;\ g_1(x)=\cdots=g_p(x)=0\}.$$ Si la restriction de $f$ à $X$ admet un extrémum local en $a$, et si les différentielles $dg_1(a),\dots, dg_p(a)$ sont des formes linéaires indépendantes, alors il existe des réels $c_1,\dots,c_p$ tels que : $$df(a)=c_1dg_1(a)+\dots+c_p dg_p(a).$$ Ces réels $c_1,\dots,c_p$ sont appelés multiplicateurs de Lagrange.


  Ce théorème a une interprétation géométrique naturelle. Prenons un arc tracé sur X avec . La fonction (d'une variable réelle) admet un extrémum local en 0, d'où l'on tire :
Maintenant, est un vecteur tangent à X en a, et en fait tous les vecteurs tangents à X en a s'obtiennent de cette façon. Ainsi, df(a)(v)=0 pour tout vecteur v tangent à X en a. Mais l'ensemble de ces vecteurs tangents est l'intersection des noyaux de dgi(a) et l'inclusion $$\ker df(a)\supset\bigcap_{i=1}^p \ker dg_i(a)$$ entraine la relation du théorème par un résultat élémentaire d'algèbre linéaire.


Exemple
  Cherchons le maximum de la fonction
sur l'ensemble défini par
En un point où le maximum est atteint, on a forcément xi>0 et on peut appliquer le théorème précédent avec g(x)=(x1+...+xn)/n-1. On obtient
Mais
et
ce qui entraîne
En particulier, on obtient que tous les ai sont égaux et qu'il sont tous égaux à 1. Ainsi, sur X, on a f(x)<=1. Par homogénéité, on obtient l'inégalité des moyennes arithmétiques et géométriques
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