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Extension de corps

Soit $K$ un corps (commutatif). On dit que $L$ est une extension du corps $K$ si $K\subset L$ et si $L$ est lui-même un corps (l'inclusion respectant les lois). L'extension est dite

  • algébrique si tout élément de $L$ est algébrique sur $K$;
  • de type fini s'il existe un nombre fini d'éléments $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ de $L$ tels que $L$ est le corps engendré par $K$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_n$;
  • monogène s'il existe un élément $\alpha\in L$ tel que $L$ est le corps engendré par $K$ et $\alpha$.

Le corps $K$ est dit algébriquement clos si tout polynôme non constant à coefficients dans $K$ a au moins une racine dans $K$. Par exemple, $\mathbb C$ est algébriquement clos. Une clôture algébrique de $\mathbb K$ est une extension algébrique de $\mathbb K$ qui est algébriquement close.

Théorème (Steinitz) : Tout corps $K$ admet une unique clôture algébrique à $K$-isomorphisme près.

Rappelons qu'un $K$-isomorphisme est un morphisme de corps laissant $K$ stable

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