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Exponentielle d'une matrice

  La série entière qui définit l'exponentielle d'un nombre réel, ou complexe, est aussi convergente pour une matrice. Ainsi, si A est une matrice carrée, l'exponentielle de A est définie par
L'exponentielle de matrice vérifie les propriétés suivantes :
  • exp(A) est toujours une matrice inversible. On a en effet la relation exp(A)exp(-A)=exp(0)=Id.
  • L'identité fonctionnelle de la fonction exponentielle, à savoir exp(A+B)=exp(A)exp(B), n'est plus toujours vérifiée. En revanche, on sait qu'elle a lieu si A et B commutent, c'est-à-dire si AB=BA.
  • Il est facile de calculer l'exponentielle d'une matrice diagonale :
    Plus généralement, si l'on souhaite calculer l'exponentielle d'une matrice, on réduira d'abord cette matrice sous forme de Jordan.
  L'exponentielle d'une matrice intervient notamment dans la résolution des systèmes d'équations différentielles linéaires.
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