$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Espace vectoriel

Dans la suite, K désigne un corps, par exemple R ou C.
Définition : Soit E un ensemble muni d'une loi interne notée + et d'une loi externe définie sur un couple (a,u) de K×E, et notée a.u
On dit que E est un espace vectoriel sur K, ou un K-espace vectoriel, si
  1. (E,+) est un groupe commutatif.
  2. Pour tous (u,v) de E, pour tous (a,b) de K, on a :
    1. a.(b.u)=(ab).u
    2. 1.u=u
    3. (a+b).u=a.u+b.u
    4. a.(u+v)=a.u+a.v
Les éléments de E sont alors appelés les vecteurs, ceux de K les scalaires.
  La notion d'espace vectoriel est LA structure la plus importante des mathématiques. Rn, l'ensemble des polynômes, des fonctions continues, des matrices d'une taille donnée, sont autant d'exemples d'espaces vectoriels! Dans tous les domaines des mathématiques ou de leurs applications, les espaces vectoriels sont omniprésents.