$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formule d'Euler-MacLaurin

Théorème : Soient $m$ et $n$ deux entiers, et $f:[m,n]\to\mathbb C$ une application de classe $\mathcal C^r$. Alors on a $$f(m)+f(m+1)+\dots+f(n)=\int_m^n f(t)dt+\frac12\big(f(m)+f(n)\big)+\sum_{h=2}^r \frac{b_h}{h!}\left(f^{(h-1)}(n)-f^{(h-1)}(m)\right)+R_r $$ avec $$R_r=\frac{(-1)^{r+1}}{r!}\int_m^nB_r(t)f^{( r)}(t)dt.$$ Les $b_n$ sont les nombres de Bernoulli, et les $B_n$ sont les polynômes de Bernoulli, définis sur [0,1] par la récurrence classique, et ensuite prolongés par 1-périodicité.

  Cette formule permet notamment de calculer la valeur de la fonction Zeta aux entiers pairs.

Cette formule a été découverte indépendamment par Euler et MacLaurin vers 1735. Euler l'utilisait pour estimer la somme de séries qui convergent très lentement, MacLaurin pour calculer des intégrales.

Consulter aussi...