$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Espérance conditionnelle

  L'espérance conditionnelle est une notion de probabilité qui permet, étant données une variable aléatoire $X$ et une sous-tribu $\mathcal B$, d'exprimer ce que l'on sait de $X$ en ayant uniquement l'information contenue dans $\mathcal B$.
Théorème et définition : Soit $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ un espace probabilisé, et $\mathcal B$ une sous-tribu de $\mathcal A$. Soit également $X$ une variable aléatoire réelle définie sur $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$, et intégrable. Alors il existe une unique variable aléatoire, appelée espérance conditionnelle de $X$ sachant $\mathcal B$, notée $E(X|\mathcal B)$, telle que
  • $E(X|\mathcal B)$ est $\mathcal B$-mesurable;
  • pour tout $B\in\mathcal B$, $\int_B E(X|\mathcal B)d\mathbb P(\omega)=\int_B X(\omega)d\mathbb P(\omega).$
Si $\mathcal B$ est la tribu engendrée par une variable aléatoire $Y$, on note aussi $E(X|Y)$.
  Lorsque la variable aléatoire est de carré intégrable, l'espérance conditionnelle a une interprétation géométrique facile : $E(X|\mathcal B)$ est la projection orthogonale de $X$ sur $L^2(\Omega,\mathcal B,\mathbb P)$, c'est-à-dire sur l'espace des variables aléatoires qui sont $\mathcal B$-mesurables.

Exemples :
  • L'espérance conditionnelle de $X$ par rapport à la tribu triviale $\{\varnothing,\Omega\}$ est une application constante. Sa valeur est l'espérance de $X$!
  • On lance deux fois une même pièce. On gagne un euro à la fin si on obtient deux piles, on perd un euro sinon. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain. L'espace des événéments correspondant est $$\Omega=\{(P_1,P_2),(P_1,F_2),(F_1,P_2),(F_1,F_2)\}.$$ La tribu associée est $\mathcal P(\Omega)$, elle comporte $2^4=16$ éléments. Maintenant, on suppose qu'on a déjà lancé une première fois la pièce. Dans ce cas, on ne peut pas distinguer l' événement $(P_1,P_2)$ de l'événement $(P_1,F_2)$, ni l'événement $(F_1,P_2)$ de l'événement $(F_1,F_2)$. La tribu associée doit en tenir compte, et la tribu qui porte l'information que l'on a après le premier tirage est la tribu engendrée par les deux ensembles $\{(P_1,P_2),(P_1,F_2)\}$ et $\{(F_1,P_2),(F_1,F_2)\}$. Elle est donc égale à $$\mathcal B=\big\{\varnothing,\Omega,\{(P_1,P_2),(P_1,F_2)\},\{(F_1,P_2),(F_1,F_2)\}\big\}.$$ Calculons maintenant l'espérance conditionnelle de $X$ par rapport à $\mathcal B$. Comme $E(X|\mathcal B)$ doit être $\mathcal B$-mesurable, on a nécessairement $$E(X|\mathcal B)(P_1,P_2)=E_(X|\mathcal B)(P_1,F_2).$$ La deuxième condition donne : $$E(X|\mathcal B)(P_1,P_2)=E_(X|\mathcal B)(P_1,F_2)=0.$$ Ceci exprime que, si on a simplement l'information donnée par le premier lancer de la pièce, et que le résultat est pile, alors le jeu est équitable.

    De la même façon, on a $$E(X|\mathcal B)(P_1,P_2)=E_(X|\mathcal B)(P_1,F_2)=-1.$$ Ceci exprime que, si on a simplement l'information donnée par le premier lancer de la pièce, et que le résultat est face, alors le jeu est perdant à tous les coups.

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