$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Espaces de Fréchet


 

Espaces localement convexes métrisables

Définition 1   Soit E un espace vectoriel. On appelle semi-norme sur E une application $ \mathcal{P}: E\to[0,+\infty[$ vérifiant $ \mathcal{P}(f+g)\leq\mathcal{P}(f)+\mathcal{P}(g)$ et $ \mathcal{P}(\lambda f)=\vert\lambda\vert\mathcal{P}(f)$ pour $ f,g\in E \textrm{ et }\lambda$ scalaire.

Une norme est donc une semi-norme avec la condition supplémentaire que $ \mathcal{P}(f)=0\iff f=0$.

Définition 2   On appelle espace localement convexe métrisable (elcm) un espace vectoriel muni d'une suite croissante de semi-normes $ \mathcal{P}_j$ telles que l'on ait :

$\displaystyle [\forall j,\ \mathcal{P}_j(f)=0]\iff f=0$

On dira que deux suites croissantes de semi-normes sont équivalentes et définissent la même structure d'elcm sur E si on a :

\begin{displaymath}\begin{array}{c}
\forall j,\ \exists k,\ \exists C,\ \mathcal...
... k,\ \exists C,\ \mathcal{Q}_j\leq\mathcal{P}_k\\
\end{array}\end{displaymath}

Les espaces normés sont donc un cas particulier des espaces précédents, celui où toutes les semi-normes valent la norme initiale.

Pourquoi dit-on que ces espaces sont métrisables???? C'est qu'on peut les munir facilement d'une structure d'espaces métriques. Posons en effet :

$\displaystyle d(f,g)=\sum_{j}\frac{\min(1,\mathcal{P}_j(f-g))}{2^j}$

On vérifie aisément qu'on définit ainsi une distance sur E. Lorsqu'on parle de E espace localement convexe métrisable, il est en général implicite qu'on le considère muni de la topologie induite par la norme.
On peut appliquer toutes les propriétés générales des espaces métriques à un espace lcm, notamment les propriétés qui s'expriment en termes de suites. Il est souvent peu commode de revenir à la distance, et on traduit souvent les résultats directement dans le langage des semi-normes. Par exemple, on a :

$\displaystyle f_n\xrightarrow{n\to\infty} f\iff \forall j,\ \mathcal{P}_j(f_n-f)\xrightarrow{n\to +\infty}0.$

Il existe une autre définition des espaces localement convexes, qui est équivalente.

Définition 2(bis) (et proposition) :

  1. On appelle espace localement convexe un ev E muni d'une topologie séparée T rendant continues les opérations (x,y)x+y et (,x)x, et pour laquelle tout point admet un système fondamental de voisinages convexes.
  2. La topologie associée à une semi-norme est une topologie d'espace localement convexe.
  3. Réciproquement, toute topologie localement convexe sur E est associée à une suite de semi-normes.

Les espaces localement convexes métrisables généralisant les espaces vectoriels normés, on a la caractérisation suivante des applications linéaires :

Théorème 1   Soit $ L:E\to F$ une application linéaire entres espaces lcm, le premier étant muni de la famille de semi-normes $ (P_j)$, le second de la famille $ (Q_k)$. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
  1. L est continue en 0.
  2. L est continue en tout point.
  3. On a :

    $\displaystyle \forall k,\ \exists j,\ \exists C,\ \forall f,\ \mathcal{Q}_k(L(f))\leq C\mathcal{P}_j(f).$

La démonstration est similaire au cas des espaces vectoriels normés, en remplaçant la notion de boule par celle de semi-boule...
Démonstration :1. implique 3. : L'image réciproque de la boule $ \{g\vert\mathcal{Q}_k(g)\leq 1\}$ doit être un voisinage de 0, et doit donc contenir une certaine semi-boule $ \{f\vert\mathcal{P}_j(f)\leq\varepsilon\}$. En posant $ C=1/\varepsilon$, on a le résultat.
Les autres implications résultent du même type de généralisation.$ \Box$

Espaces de Fréchet

Définition 3   On appelle espace de Fréchet un espace localement convexe métrisable qui est complet pour la structure d'espace métrique induite.

EXEMPLES : Les espaces de Fréchet sont le plus souvent des espaces fonctionnels. Un espace fonctionnel est le plus souvent défini comme un ensemble de fonctions vérifiant certaines propriétés (régularité, maxima...). Lorsqu'il y a une seule condition, on obtient un espace normé. Lorsqu'il y en a une infinité (pensez à : vrai sur tout compact...), on obtient un espace de Fréchet.

  • L'espace $ \mathcal{C}^\infty_K$ des fonctions indéfiniment dérivables à support un compact K de $ \mathbb {R}^n$ est un espace de Fréchet pour la suite de semi-normes :

    $\displaystyle \mathcal{P}_m(f)=\sup_{x\in K;\vert\alpha\vert\leq m}\vert\partial^\alpha f(x)\vert.$

    La complétude est une conséquence du fait que l'ensemble des fonctions continues sur un compact muni de la norme infinie est un espace de Banach, et du théorème classique de dérivation de la limite d'une suite de fonctions.
  • $ \mathcal{O}(\mathcal{U})$, ensemble des fonctions holomorphes sur un ouvert connexe $ \mathcal{U}\subset\mathbb {C}$ est un espace de Fréchet, pour la suite de semi-normes suivante : Soit $ (K_n)$ une exhaustion de compacts de $ \mathcal{U}$, alors on définit :

    $\displaystyle \mathcal{P}_n(f)=\sup_{z\in K_n}\vert f(z)\vert.$

  • $ L^1_{loc}(\Omega)$, désignant l'espace des classes de fonctions sommabes sur chaque compact de $ \Omega$, est un espace de Fréchet pour la suite de semi-normes suivante : Soit $ (K_n)$ une exhaustion de compacts de $ \mathcal{\Omega}$, alors on définit :

    $\displaystyle \mathcal{P}_n(f)=\int_{K_n}\vert f(x)\vert dx.$

  • Soit $ \mathcal{S}(\mathbb {R}^n)$ des fonctions $ \mathcal{C}^\infty$ dont toutes les dérivées sont à décroissance rapide (ie leur produit par un polynôme quelconque est borné). C'est un espace de Fréchet lorsqu'on le munit de la famille de semi-normes suivante :

    $\displaystyle \mathcal{P}_p(f)=\sup_{\vert\alpha\vert\leq p,\ \vert\beta\vert\leq p}\Vert x^\alpha\partial^\beta f(x)\Vert _\infty.$

 

Théorèmes généraux sur les espaces de Fréchet
La plupart des théorèmes classiques dans les espaces de Banach relevant de la notion de complétude sont encore valables dans les espaces de Fréchet. Il en est ainsi par exemple des théorèmes de Banach-Steinhaus et de ceux de l'application ouverte. Voici par exemple une formulation du théorème de Banach-Steinhaus :

Théorème 2   Soit E un espace de Fréchet, F un espace lcm, et $ L_n$ une suite d'applications linéaires continues de E dans F. On suppose que pour tout f dans E, la suite $ L_n(f)$ converge vers une limite L(f). Alors l'application linéaire L est continue.

 


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