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Bibm@th

Fonction de Cantor

  Il s'agit d'une fonction construite sur le modèle de l'ensemble de Cantor par le procédé itératif suivant :
  • la fonction f1 est affine, avec f1(0)=0, f1(1)=1.
  • on coupe l'intervalle [0,1] en 3 segments de même longueur : [0,1/3], [1/3,2/3], [2/3,1]. La fonction f2 est constante sur l'intervalle du milieu, affine sur chacun des deux autres intervalles, avec les valeurs aux bord : f2(0)=0, f2(1/3)=f2(2/3)=1/2, f2(1)=1.
  • pour déduire f3 de f2, on répète le même procédé sur chacun des intervalles où f2 est affine : on coupe l'intervalle en 3, f3 est constante sur l'intervalle du milieu, affine sur les deux autres, avec la même pente.
  • on répète...
  La fonction limite des fn s'appelle fonction de Cantor.
Cette fonction a des propriétés très particulières : elle est dérivable en tout point qui n'appartient pas à l'ensemble de Cantor, et sa dérivée y est nulle. Autrement dit, puisque l'ensemble de Cantor est de mesure nulle, elle est dérivable presque partout, sa dérivée vaut presque partout 0, et pourtant f(0)=0 alors que f(1)=1! C'est de cette propriété très étrange que vient probablement l'autre nom de la fonction de Cantor : l'escalier du diable... C'est donc une fractale très intéressante.

Cette courbe a été découverte en 1885 par Ludwig Scheefer, qui était un élève de Cantor.
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