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Programme d'Erlangen

  Le programme d'Erlangen est le nom donné à une conférence donnée par Félix Klein lors de sa nomination à la chair de l'université d'Erlangen en 1872. Il y donne une conception révolutionnaire de la géométrie, qui s'est depuis imposée comme le point de vue moderne sur cette discipline.

  Klein met la notion de groupe au centre de la géométrie. Pour lui, une géométrie est la donnée d'un ensemble $E$ et d'un groupe $G$ de bijections de $E$. Étudier la géométrie du couple $(E,G)$, c'est étudier les propriétés des éléments de $E$ qui sont invariants par les transformations de $G$, ou par les transformations d'un sous-groupe de $G$. Prenons un exemple. Si $E$ est l'ensemble des couples de droites sécantes d'un plan euclidien, et $G$ est le groupe des isométries, on peut classer les éléments de $E$ suivant qu'ils sont images l'un de l'autre par un élément de $G$, c'est-à-dire par une isométrie. Ce faisant, on vient de définir la notion d'angle de droites!

  Voici la première partie du programme d'Erlangen, traduite par Henri Padé :
  Des notions nécessaires pour les considérations qui vont suivre, la plus essentielle est celle de groupe de transformations de l'espace.

La composition d'un nombre quelconque de transformations de l'espace redonne toujours une telle transformation. Supposons maintenant qu'un ensemble donné de transformations ait la propriété que toute transformation résultant de la composition d'un nombre quelconque d'entre elles appartienne aussi à l'ensemble, il constitue ce que l'on appelle un groupe de transformations.

  L'ensemble des déplacements (chaque déplacement étant considéré comme une opération effectuée sur la totalité de l'espace) offre l'exemple d'un groupe de transformations. Un groupe qui y est contenu est formé, par exemple, par les rotations autour d'un point. Un groupe qui, au contraire, le contient, est formé pas l'ensemble des transformations homographiques. Par contre, l'ensemble des transformations dualistiques ne forme pas de groupe, car deux telles transformations redonnent, quand on les compose, une transformation homographique; mais on obtient de nouveau un groupe en associant les transformations dualistiques et homographiques.

  Il y a des transformations de l'espace qui n'altèrent en rien les propriétés géométriques des figures. Par nature, ces propriétés sont, en effet, indépendantes de la situation occupée dans l'espace par la figure considérée, de sa grandeur absolue, et enfin aussi du sens dans lequel ses parties sont disposées. Les déplacements de l'espace, ses transformations avec similitude et celles par symétrie n'altèrent donc pas les propriétés géométriques des figures, non plus que les transformations composées avec les précédentes. Nous appelerons groupe principal de transformations de l'espace l'ensemble de toutes ces transformations : les propriétés géométriques ne sont pas altérées par les transformations du groupe principal. La réciproque est également vraie : les propriétés géométriques sont caractérisées par leur invariance relativement aux transformations du groupe principal. Si l'on considère, en effet, un instant l'espace comme ne pouvant se déplacer, etc., comme une multiplicité fixe, chaque figure possède une individualité propre; des propriétés qu'elle possède comme individu, celles-là seules sont proprement géométriques que les transformations du groupe principal n'altèrent pas. Cette preuve, formulée ici un peu vaguement, se dégagera plus nettement par la suite de l'exposition.

  Faisons mantenant abstraction de la figure matérielle qui, au point de vue mathématique, n'est pas essentielle, et ne voyons plus dans l'espace qu'une multiplicité à plusieurs dimensions, par exemple, en nous en tenant à la représentation habituelle du point comme élément de l'espace, une multiplicité à trois dimensions. Par analogie avec les transformations de l'espace, nous pouvons aussi parler des transformations de la multiplicité; elle forment aussi des groupes. Mais il n'y a plus, comme dans l'espace, un groupe qui se distingue des autres par sa signification; un groupe quelconque n'est ni plus, ni moins que tout autre. Comme généralisation de la Géométrie se pose ainsi la question générale que voici :

  Étant données une multiplicité et un groupe de transformations de cette multiplicité, en étudier les êtres au point de vue des propriétés qui ne sont pas altérées par les transformations du groupe.

  Si l'on adopte la façon actuelle de parler dont, il est vrai, on ne sert que pour un groupe déterminé, celui des transformations linéaires, on peut encore s'exprimer ainsi :

  On donne une multiplicité et un groupe de transformations de cette multiplicité; développer la théorie des invariants relatifs à ce groupe.

  Tel est le problème général qui embrasse non seulement la Géométrie ordinaire, mais aussi les méthodes géométriques modernes que nous avons à passer en revue et les différentes façons d'étudier les multiplicités à un nombre quelconque de dimensions. Ce qu'il faut surtout remarquer, c'est l'arbitraire qui subsiste dans le choix du groupe de transformations adjoint à la multiplicité, et la faculté qui en découle d'accepter également toutes les méthodes de traitement dès qu'elles satisfont à la conception générale.
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