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Quelques notions de théorie ergodique

  Soit (X,B,m) un espace de probabilité, et T un endomorphisme de cet espace, ie une fonction T de X dans X telle que si A est mesurable, T-1A est mesurable. On dit que :
  • préserve la mesure si m(T-1A)=m(A) pour toute partie mesurable A.
  • est ergodique si T-1A=A entraîne que m(A)=0 ou m(A)=1.
  Les théorèmes ergodiques sont des théorèmes concernant la moyenne de telles transformations. Voici par exemple le théorème de Birkhoff-Khintchine. Soit f de L1(X,m), T un endomorphisme de (X,B,m) qui préserve la mesure. Alors la moyenne :
converge pour presque tout x de X vers une limite F(x), qui vérifie F(Tx)=F(x) pour presque tout x (en particulier, si T est ergodique, F est constante).