$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Equirépartition

  Une suite $(x_n)$ de réels de [0,1[ est équirépartie si, pour tous $0\leq a<b<1$, on a $$\lim_{N\to +\infty}\frac 1N\textrm{card}\big\{n\leq N;\ x_n\in [a,b[\big\}=b-a.$$   Cela signifie concrètement que la suite se répartit uniformément dans [0,1] : la proportion de points de $(x_m)$ dans tout intervalle $[a,b]$ est proportionnelle à la taille de l'intervalle $[a,b]$.

  Le théorème suivant, appelé critère de Weyl, caractérise les suites équiréparties :
Théorème : Soit $(x_n)$ une suite de réel de $[0,1[$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  • la suite $(x_n)$ est équirépartie;
  • pour tout fonction $f:[0,1]\to\mathbb C$ continue, $$\lim_{N\to +\infty}\frac 1N\sum_{n=1}^N f(x_n)=\int_0^1 f(t)dt.$$
  • pour tout $m\in\mathbb Z^*$, $$\lim_{N\to +\infty}\frac 1N\sum_{n=1}^N e^{2\pi i mx_n}=\int_0^1 f(t)dt.$$
  Comme application du critère de Weyl, on peut voir que si $x$ est irrationnel, la suite $(nx-\lfloor nx\rfloor)$ est équirépartie (on dit aussi que la suite (nx) est équirépartie modulo 1, ou uniformément distribuée).
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