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Ensembles équipotents

  Deux ensembles A et B sont dits équipotents s'il existe une bijection f : A->B.

Pour les ensembles finis, il s'agit d'une notion sans difficulté, et on montre que deux ensembles sont équipotents ssi ils ont le même cardinal : en effet, si on a une injection de A dans B, il est clair que f(A) a même nombre d'éléments que A, et aussi moins d'éléments que B. Par réciprocité des rôles, on a le résultat.

Dans le cas où les ensembles sont infinis, c'est une notion bien plus délicate. Les ensembles qui sont équipotents à N sont dits dénombrables. Mais on démontre qu'il existe des ensembles qui ne sont pas dénombrables : Par exemple, l'ensemble des réels R n'est pas dénombrable. Il suffit pour cela de montrer que le segment [0,1] ne l'est pas. Il existe plusieurs démonstrations, basées sur le procédé diagonal de Cantor :

  • L'une d'elles utilise le théorème des segments emboîtés : Tout suite décroissante de segments non-vides de R dont le diamètre tend vers 0 a une intersection réduite à un singleton. On suppose alors que [0,1] est dénombrable, ce qui signifie encore que [0,1]=(xn)nN . On construit alors une suite de segments (In) tel que I0[0,1], In+1In, et pour chaque n, xn In, diam(In)=1/3n+1. Voyons comment procéder. Pour n=0, on partage [0,1] en les 3 intervalles [0,1/3],[1/3,2/3], et [2/3,1]. Un des ces 3 intervalles ne contient pas x0, on pose I0 égal à cet intervalle. On construit de même In+1 à partir de In en partageant l'intervalle en 3. Voyons alors comment conclure : d'après le théorème des segments emboîtés, il existe un point l commun à tous les In. Mais comme [0,1]=(xn)nN , l=xp pour un certain p. Mais alors, xpIp, et lIp, on a une contradiction.
  • Une autre des démonstrations consiste en l'utilisation des développements décimaux des réels de [0,1], et donne le même type de contradiction.

  En fait, la théorie des cardinaux des ensembles infinis est fondée sur cette notion d'ensembles équipotents : le cardinal de A sera la classe de tous les ensembles qui lui sont équipotents. Cela soulève de nombreux problèmes sur la théorie des ordinaux et des cardinaux (cf puissance du continu)


 Exemple : X et P(X) ne sont jamais équipotents.

Ce résultat est bien connu, et facile à établir, dans le cas où X est fini, puisque si le cardinal de X est n, celui de P(X) est 2n. La démonstration dans le cas général utilise un raisonnement à rapprocher du paradoxe de Russell : on suppose par l'absurde l'existence de f:X->P(X) une bijection. On note alors :

A={y X; y f(y)}
B={y X; yf(y)}

On a BP(X), d'où B=f(x). En outre il est clair que X=AB, et A et B sont disjoints. Alors, on a l'alternative suivante :

  • Si xA, alors xf(x)=B : c'est absurde!
  • Si xB, alors xf(x)=B : c'est absurde!

  Donc les deux cas sont absurdes : c'est que X et P(X) ne sont jamais équipotents.


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