$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Fonctions équicontinues et théorème d'Ascoli

  Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb R$. On dit que la suite $(f_n)$ est équicontinue si :

Autrement dit, toutes les fonctions $f_n$ sont continues sur $I$, et elles sont continues "de la même façon".

  La notion d'équicontinuité intervient notamment dans le théorème d'Ascoli :

Théorème (Ascoli) : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un intervalle fermé borné $I$, à valeurs réelles. On suppose que cette suite de fonctions est équicontinue, et qu'il existe un réel $M>0$ tel que $|f_n(x)|<M$ pour tout $n\in\mathbb N$ et pour tout $x\in I$.
Alors on peut extraire une sous-suite $(f_{n_k})$ qui converge uniformément sur $I$ vers une fonction continue $f$.
On peut bien sûr donner des énoncés plus généraux. Si $(X,d)$ et $(Y,d)$ sont des espaces métriques, une partie $A$ de $C(X,Y)$ est dite équicontinue si :

Le théorème d'Ascoli s'énonce alors :

Théorème : Soit $X$ un espace métrique compact, $Y$ un espace métrique. Alors une partie $A$ de $C(X,Y)$ est relativement compacte si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
  • $A(x):=\{f(x);\ f\in A\}$ est relativement compact dans $Y$ pour tout $x\in X$;
  • $A$ est équicontinue.
La notion d'équicontinuité a été identifiée par Maurice Fréchet.
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