Equation logistique

L'équation logistique est l'équation différentielle suivante : $$N'(t)=aN(t)(1-bN(t))$$ où $a$ et $b$ sont deux réels positifs. Elle modélise l'évolution d'une population évoluant en milieu fermé. Le terme $aN(t)$ signifie que la population a une tendance naturelle à l'accroissement, tandis que le terme $-abN^2(t)$ donne une limite à cette accroissement, en raison des ressources limitées de ce milieu fermé. C'est un terme de "concurrence".

Bien que n'étant pas linéaire, cette équation se résout facilement par un changement de fonction inconnue. En effet, si on pose $P=1/N$, alors $P$ vérifie l'équation différentielle $$P'(t)=-aP(t)+ab$$ La résolution de cette équation donne $$P(t)=b+\big(P(0)-b\big)e^{-at}$$ ce qui, retraduit sur $N$, donne $$N(t)=\frac{N(0)}{bN(0)+(1-bN(0))e^{-at}}.$$

En particulier, $N$ est monotone et admet une limite en l'infini égale à $1/b$. A part la valeur de la limite, ce comportement ne dépend ni de $N(0)$, ni de $a$, ni de $b$. Ceci est frappant, parce que la suite logistique, qui vérifie l'analogue discret de l'équation logistique, c'est-à-dire une relation de récurrence du type $$u_{n+1}=au_n(1-bu_n),$$ peut, suivant les valeurs de $a$ et de $b$, avoir des comportements très divers, et même un comportement chaotique!

L'équation logistique a été introduite par le mathématicien belge Pierre-François Verhulst au XIXè siècle. Il souhaite en effet étudier un modèle de population qui ne soit pas exponentiel et qui soit cohérent avec l'évolution de la population sur certaines périodes. Il donne le nom de courbe logistique aux solutions de l'équation différentielle précédente dans un article de 1845, sans donner d'explications au choix du terme "logistique".