$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Equations différentielles linéaires

  Une équation différentielle linéaire (du premier ordre) est une équation différentielle de la forme y'=a(x)y+b(x), où a et b sont des fonctions continues sur un intervalle I de R. Si a et b sont deux fonctions constantes, l'équation est dite à coefficients constants.

  Plus généralement, une équation différentielle linéaire d'ordre n est une équation différentielle qui s'écrit :
an(x)y(n)+an-1(x)y(n-1)+...+a1(x)y1+a0(x)y=b(x).
L'équation homogène associée (on parle aussi d'équation sans second membre) est celle où on a "oublié" le terme en b :
an(x)y(n)+an-1(x)y(n-1)+...+a1(x)y1+a0(x)y=0.
  Il est beaucoup plus facile d'étudier les équations différentielles linéaires que les équations différentielles générales. On prouve que l'ensemble des solutions de l'équation homogène est un espace vectoriel de dimension n, et que l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire générale est un espace affine de dimension n.

Cas des coefficients constants :
  On cherche à résoudre :
Le polynôme caractéristique associé est :
Si le polynôme caractéristique se factorise (sur C) sous la forme :
avec . Alors la famille
avec j dans {1,...,r}, a dans {0,...,lj-1}, k dans {1,...,s} et b dans {0,...,mk-1} est un système fondamental de solutions de (E0).

Système différentiel linéaire :
  Soit A une application définie sur un intervalle I de R, à valeurs dans l'ensemble des matrices n×n réelles. L'équation Y'(t)=A(t)Y(t) est une équation différentielle, où on cherche ici un vecteur Y de Rn. On peut réécrire sous forme étendue :
C'est pourquoi on parle aussi de système différentiel linéaire. Si Y'=AY est une telle équation différentielle linéaire, avec A de taille n, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension n. On peut aussi ajouter un second membre, et on obtient un espace affine de dimension n.