$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Courbes et figures remarquables >

Enveloppe d'une famille de droites, de courbes planes

Enveloppe d'une famille de droites

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et, pour tout $t\in I,$ soit $D_t$ une droite du plan. On appelle enveloppe de $(D_t)_{t\in I}$ un arc paramétré $(I,f)$ tel que, pour tout $t\in I,$ la tangente en $f(t)$ est la droite $D_t.$

Lorsqu'on a un arc paramétré, il est "facile" de trouver les tangentes à cet arc. Ici, on se pose le problème inverse, qui est a priori beaucoup plus difficile : étant donnée une famille de droites, trouver un arc paramétré dont les tangentes sont exactement ces droites. Dans beaucoup de cas, c'est possible.

Théorème : Soit $I$ un intervalle et pour chaque $t\in I,$ soit $D_t$ une droite d'équation $a(t)x+b(t)y+c(t)=0.$ On suppose que les fonctions $a,b$ et $c$ sont de classe $\mathcal C^1$ sur $I$ et que $$\forall t\in I, \left| \begin{array}{cc} a(t)&b(t)\\ a'(t)&b'(t) \end{array}\right|=a(t)b'(t)-a'(t)b(t)=0.$$ Alors il existe au plus une enveloppe pour la famille $(D_t)_{t\in I}.$ Plus précisément, si $f(t)=(x(t),y(t))$ est solution du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} a(t)x+b(t)y+c(t)&=&0\\ a'(t)x+b'(t)y+c'(t)&=&0 \end{array} \right. $$ et si $(I,f)$ est un arc régulier, alors c'est l'unique enveloppe de la famille $(D_t)_{t\in I}.$

Exemple : l'enveloppe de la famille de droites d'équation $x-cos(t)y-sin(t)=0$ est l'hyperbole équilatère $x^2-y^2=1.$

Enveloppe d'une famille de courbes planes

Plus généralement, on peut définir l'enveloppe d'une famille de courbes planes $(C_t)_{t\in I}$ de la façon suivante : pour chaque $t\in I,$ on associe à $C_t$ un point caractéristique qui est le point limite de l'intersection de $C_{t'}$ avec $C_t$ lorsque $t$ tend vers $t'$ (à supposer qu'un tel point existe et est unique !). L'ensemble des points caractéristiques est l'enveloppe de la famille $(C_t)_{t\in I}.$ On obtient ainsi une courbe qui, en chaque point, est tangente à une courbe $C_t.$ Dans le cas d'une famille de droites vérifiant les hypothèses du théorème, on retrouve la définition précédente.

Consulter aussi
Recherche alphabétique
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Recherche thématique
  • Algèbre
  • Analyse
  • Applications
  • Arithmétique
  • Probabilité et statistiques
  • Géométrie
  • Fondements
  • Histoire
  • Mathématiques discrètes
  • Mathématiques interactives