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Enveloppe d'une famille de droites, de courbes planes

Enveloppe d'une famille de droites
  Soit I un intervalle de R et, pour tout t de I, soit Dt une droite de I. On appelle enveloppe de (Dt) un arc paramétré (I,f) tel que, pour tout t de I, la tangente en f(t) est exactement Dt.

  Lorsqu'on a un arc paramétré, il est "facile" de trouver les tangentes en chaque point f(t). Ici, on a affaire au problème en sens contraire, qui est a priori beaucoup plus difficile : étant donnée une famille de droites, trouver un arc paramétré dont les tangentes soient exactement ces droites. Dans beaucoup de cas, c'est possible.

Théorème : Soit I un intervalle de R et pour chaque t de I, soit Dt une droite d'équation a(t)x+b(t)y=0. On suppose que les fonctions a et b sont C1 sur I et que :

Alors il existe au plus une enveloppe convexe pour la famille (Dt). Plus précisément, si f(t)=(x(t),y(t)) est solution du système

et si (I,f) est un arc régulier, alors c'est l'unique enveloppe de la famille (Dt).

Exemple : l'enveloppe de la famille de droites d'équation x-cos(t)y-sin(t)=0 est l'hyperbole équilatère x2-y2=1.

Enveloppe d'une famille de courbes planes
  Plus généralement, on peut définir l'enveloppe d'une famille de courbes planes (Ct) de la façon suivante : pour chaque t, on associe à Ct un point caractéristique qui est le point limite de l'intersection de Ct' avec Ct lorsque t tend vers t' (à supposer qu'un tel point existe et est unique!). L'ensemble des points caractéristiques est l'enveloppe de la famille (Ct). On obtient ainsi une courbe qui, à chaque point, est tangente à une courbe Ct. Dans le cas d'une famille de droites vérifiant les hypothèses du théorème, on retrouve la définition précédente.
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