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Bibm@th

Ensemble

  C'est étonnant, mais en mathématiques il n'y a pas de définition précise d'un ensemble. De même qu'en géométrie élémentaire, on ne donne jamais de définition précise d'un point ou d'une ligne, mais on discute des propriétés relatives de ces objets (un point appartient à une droite, deux droites sont parallèles,...), en théorie des ensembles, on ne dit pas ce qu'est un ensemble, ou un élément, mais on discute des propriétés relatives de ces objets (un élément appartient à un ensemble, deux ensembles sont d'intersection vide,...).

  Pour donner une idée concrète de ce qu'est un ensemble en mathématiques, disons qu'il s'agit d'une collection d'objets que l'on sait différencier, comme les lettres de l'alphabet, une classe dans une école. On peut le définir de deux façons :
  • en donnant la liste de ses éléments, que l'on écrit entre accolades (on parle de définition en extension).
  • en donnant une propriété caractéristique des éléments qui le compose (on parle de définition en compréhension).
Lorsque les objets ne sont pas clairement distinguables, alors on n'a pas affaire à un ensemble. Ainsi, un sac de pommes de terre n'illustre pas bien la notion d'ensemble. Ceci permet ainsi d'éviter de considérer l'ensemble de tous les ensembles, et donc d'éviter les paradoxes à l'origine d'une crise des mathématiques vers 1900.
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