$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Développement en série de Engel

Théorème : Soit $x$ un réel strictement positif. Alors il existe une unique suite croissante d'entiers $(a_n)_{n\geq 1}$ telle que $$x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_1a_2a_3}+\dots=\sum_{n\geq 1}\frac1{a_1\dots a_n}.$$ Cette écriture s'appelle le développement en série de Engel, ou encore le produit égyptien de x.
Les coefficients $(a_n)$ peuvent s'obtenir par une formule de récurrence, obtenue par Henry Briggs : on pose $$\left\{\begin{array}{rcl} a_1&=&E\left(\frac 1x\right)+1\\ x_1&=&a_1x-1\\ \end{array} \right.\textrm{ et } \left\{\begin{array}{rcl} a_{n+1}&=&E\left(\frac 1{x_n}\right)+1\\ x_{n+1}&=&a_{n+1}x_n-1.\\ \end{array} \right.$$

Exemples :
  • le développement en série de Engel de $e$ correspond au développement obtenu à partir de la série entière de l'exponentielle : $$e=\sum_{n\geq 0}\frac 1{n!}.$$ La suite $(a_n)$ est alors $1,1,2,3,4,5,\dots$.
  • 1 s'obtient à l'aide de la série géométrique de raison $1/2$. Ainsi, $$1=\sum_{n\geq 1}\frac1{2^n}.$$ Dans ce cas, la suite $(a_n)$ obtenue est $2,2,2,\dots$.
  Les développements en série de Engel sont utilisées en théorie des nombres. Par exemple, ils permettent de caractériser si un nombre est rationnel ou non.
Théorème : Soit $x>0$ un réel strictement positif. Alors $x$ est rationnel si et seulement si son développement en série de Engel est stationnaire.
On parle de produit égyptien car le développement en série de Engel est un moyen d'écrire un nombre comme somme de fractions égyptiennes, c'est-à-dire de fractions dont le numérateur est égal à 1. Il y a en réalité beaucoup de façons d'écrire un nombre comme somme de fractions égyptiennes, le développement de Engel est une normalisation courante.