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Intégrale elliptique

  On appelle intégrale elliptique toute intégrale de la forme $$\int \frac{A(x)}{B(x)+C(x)\sqrt{S(x)}}dx$$ où $A,B,C,S$ sont des polynômes tels que $S$ est de degré 3 ou 4 et n'admet pas de racines doubles. Les intégrales elliptiques peuvent être vues comme des généralisations des fonctions trigonométriques inverses. Elles interviennent notamment dans le calcul de la longueur d'un arc d'ellipse. On distingue plus précisément trois types d'intégrales elliptiques :
  • les intégrales elliptiques de première espèce : ce sont celles de la forme $$\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}\sqrt{1-k^2t^2}}.$$ Elles interviennent dans le calcul de la longueur d'un arc de la lemniscate de Bernoulli.
  • les intégrales elliptiques de deuxième espèce : ce sont celles de la forme $$\int \frac{\sqrt{1-k^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}}dt.$$ Elles interviennent dans le calcul de la longueur d'un arc d'ellipse.
  • les intégrales elliptiques de troisième espèce : ce sont celles de la forme $$\int \frac{dt}{(1+nt^2)\sqrt{1-t^2}\sqrt{1-k^2t^2}}.$$
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