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Ellipse

Définition géométrique
  Historiquement, disons pour les mathématiciens grecs, une ellipse est constituée par l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution, lorsque le plan traverse le cône de part en part. De nos jours, cette définition n'est quasiment plus enseignée, et on préfère l'introduction suivante. Soit F un point du plan, D une droite ne passant pas par F, et e un réel strictement compris entre 0 et 1. Alors on appelle ellipse de foyer F, de directrice D, d'excentricité e, l'ensemble des points M du plan vérifiant :
Il est à noter que cette définition n'inclut pas le cercle parmi les ellipses.

  L'ellipse possède un centre de symétrie O, ainsi que deux axes de symétrie. L'axe focal (c'est-à-dire la droite perpendiculaire à la directrice passant par le foyer) s'appelle grand axe. La longueur a (cf dessin) s'appelle demi-axe focal, ou demi-grand axe. L'autre axe de symétrie s'appelle petit axe, ou axe non focal. La longueur b (cf dessin) s'appelle demi-petit axe.

Par symétrie, l'ellipse possède un autre couple foyer/directrice, symétrique de (F,D) par rapport à O. La longueur OF vaut c, avec c2=a2-b2. Si on note h la distance du foyer à la directrice, et p=eh le paramètre de l'ellipse, on a p=b2/a. Diverses autres relations entre ces réels se trouvent sur le dessin.
Ellipse du jardinier
  Il existe un autre moyen de définir une ellipse. Prenons deux points F et F' du plan, et a>0. L'ensemble des points M du plan tels que :
MF+MF'=2a
est une ellipse. On appelle cette définition la définition bifocale de l'ellipse. En effet, les points F et F' sont les deux foyers de l'ellipse. On parle aussi d'ellipse du jardinier. Prenons en effet deux piquets solidement arrimés au sol, et une ficelle non élastique dont les extrémités sont fixés aux piquets. Le trajet que l'on parcourt en maintenant la ficelle tendue est une ellipse!

Equations
Dans un repère orthonormé où le point O est centre du repère et où la droite (FF') est l'axe (Ox), l'ellipse admet pour équation :
Dans le même repère, une équation paramétrique est donnée par
Pour une équation paramétrique en coordonnées polaires, on renvoie à l'article concernant les coniques.

Applications physiques
  Les ellipses sont bien sûr des objets très importants en mécanique céleste. Les orbites des planètes autour de leur étoile ou des satellites (artificiels comme naturels) sont des ellipses. Il existe une autre application un peu moins connue, liée à une propriété remarquable de l'ellipse. En effet, si une ellipse admet pour foyer F et F', et si M est n'importe quel point sur l'ellipse, la bissectrice de l'angle FMF' est perpendiculaire à la tangente de l'ellipse en M.

Cette propriété est utilisée en optique géométrique : dans un miroir elliptique, si on met une lampe à l'un des foyers, tous les rayons lumineux se concentrent sur l'autre foyer. C'est aussi une propriété dont on peut se rendre compte dans les stations du métro parisien : l'autre qu'on se place à un endroit bien particulier d'un quai, on capte très facilement les conversations sur le quai d'en face. Rien de plus normal, les stations de métro ont presque toutes une voûte elliptique!
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