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Bibm@th

Critère d'Eisenstein

Le critère d'Eisenstein donne un condition suffisante pour qu'un polynôme à coefficients dans $\mathbb Z$ soit irréductible dans $\mathbb Z[X]$.

Théorème : Soit $P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1 X+a_0$ un polynôme à coefficients dans $\mathbb Z$. On suppose qu'il existe un entier premier $p$ tel que :
    • $p$ divise $a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$;
    • $p$ ne divise pas $a_n$;
    • $p^2$ ne divise pas $a_0$.
Alors $P$ est irréductible dans $\mathbb Q[X]$. Si de plus $P$ est primitif (c'est-à-dire que le pgcd de ses coefficients vaut 1), alors il est irréductible dans $\mathbb Z[X]$.

Ce théorème reste valable si on remplace $\mathbb Z$ par n'importe quel anneau factoriel et $\mathbb Q$ par le corps des fractions de cet anneau.

Ex : $X^3+7X^2+14X+21$ est irréductible sur Z. Il suffit d'appliquer le critère d'Eisenstein avec $p=7$.

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