$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Développement décimal

  Soit $x$ un nombre réel. On appelle développement décimal de $x$ toute écriture de $x-\lfloor x\rfloor$ sous la forme $$x-\lfloor x \rfloor=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^n}$$ où, pour tout $n\geq 1$, $a_n$ est un entier de $\{0,\dots,9\}$. Cette relation s'écrit encore parfois sous la forme : $$x=\lfloor x\rfloor+\overline{0,a_1a_2\dots a_n\dots}.$$

  On a les propriétés suivantes :
  • tout réel $x$ possède un développement décimal. Pour cela, on considère la suite $(x_n)$ des valeurs décimales approchées par défaut à $10^{-n}$ près de $x$, définie par $$x_n=\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}.$$ Alors la suite $(a_n)$ définie par $a_n=10^n (x_n-x_{n-1})$ donne un développement décimal de x.

  • si $x$ n'est pas décimal, alors il admet un unique développement décimal. Si $x$ est un nombre décimal, il admet exactement deux développement décimaux. Le premier, donné par le procédé précédent, est tel que tous les $a_n$ sont nuls à partir d'un certain rang. Ce développement est appelé développement décimal propre de $x$. Le second est obtenu à partir du premier : si $N$ désigne le plus grand entier tel que $a_N\neq 0$, alors en remplaçant $a_N$ par $a_{N}-1$, et en terminant par des 9, on obtient un autre développement décimal de $x$. Ce développement est appelé développement décimal impropre de $x$. Par exemple, 1 admet les deux développements décimaux suivants :

  • un nombre $x$ est rationnel si et seulement si son développement décimal (propre) est périodique (à partir d'un certain rang).
On pose souvent la question de savoir si
0,999999999.....=1
La réponse est oui! Le moyen le plus facile pour justifier cette propriété est d'écrire que
0,333333333.....=1/3
et de tout multiplier par 3!