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Bibm@th

Décomposition de Dunford-Jordan

Théorème : Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie dont le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb K$. Alors il existe un unique couple $(d,n)$ d'endomorphismes de $E$ tels que :
  • $u=d+n$.
  • $d$ et $n$ commutent.
  • $d$ est diagonalisable et $n$ est nilpotent (c'est-à-dire qu'il existe $k\in\mathbb N^*$ tel que $n^k=0).$
De plus, $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$, et le polynôme minimal de $d$ divise celui de $u.$

La réciproque du théorème précédent est vraie. Si $u$ s'écrit $u=d+n$, avec $d$ diagonalisable, $n$ nilpotent, et $d\circ n=n\circ d$, alors le polynôme caractéristique de $u$ est scindé.

La décomposition de Dunford-Jordan est une réduction plus poussée que la simple trigonalisation. Elle est notamment utile pour calculer l'exponentielle d'un endomorphisme ou d'une matrice. Il existe encore une réduction plus poussée, la réduction de Jordan.

Le théorème précédent s'applique en particulier à tout endomorphisme d'un $\mathbb C$-espace vectoriel, puisque son polynôme caractéristique est scindé. Si ce n'est pas le cas, on a toujours un théorème de réduction en remplaçant endomorphisme diagonalisable par endomorphisme semi-simple.

Théorème : Soit $\mathbb K$ un corps parfait et $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Alors il existe un unique couple $(d,n)$ d'endomorphismes de $E$ tels que :
  • $u=d+n$.
  • $d$ et $n$ commutent.
  • $d$ est semi-simple et $n$ est nilpotent.
De plus, $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ et le polynôme minimal de $d$ divise celui de $u.$
Le fait que cette décomposition s'appelle décomposition de Dunford-Jordan dans l'enseignement français (francophone?) est assez étrange. Certes, Nelson Dunford a publié un théorème de ce genre en 1954. Mais ses travaux sont très antérieurs à ceux de Camille Jordan (vers 1870) et aussi à ceux de Claude Chevalley (au début des années 1950) qui a donné sa forme moderne au théorème ainsi qu'un énoncé plus général que celui que nous avons donné ici. C'est pourquoi la dénomination anglo-saxonne de décomposition de Jordan-Chevalley semble plus appropriée. On pourra lire l'article Décomposition effective de Jordan-Chevalley de Danielle Couty, Jean Esterle et Rachid Zarouf, paru dans le numéro 129 de la Gazette des mathématiciens de la SMF (2011).
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