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Bibm@th

Décomposition de Dunford-Jordan

Théorème : Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ dont le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb K$. Alors il existe un unique couple $(d,n)$ d'endomorphismes de $E$ tels que :
  • $u=d+n$.
  • $d$ et $n$ commutent.
  • $d$ est diagonalisable et $n$ est nilpotent (c'est-à-dire qu'il existe $k$ tel que $n^k=0$).
De plus, $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$.

  La décomposition de Dunford-Jordan est une réduction plus poussée que la simple trigonalisation. Elle est notamment utile pour calculer l'exponentielle d'un endomorphisme ou d'une matrice. Il existe encore une réduction plus poussée, la réduction de Jordan.
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