$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exemple de Du Bois Reymond

  Il est très naturel d'essayer de retrouver une fonction à partir de ces coefficients de Fourier. On dispose par exemple du théorème classique de Dirichlet, qui affirme qu'une fonction de classe C1 par morceaux est somme de sa série de Fourier. Paul Du Bois Reymond a prouvé en 1873 que ce n'était plus vrai si on suppose seulement que la fonction est continue. Précisément, il a donné un exemple de fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0. Cet exemple a beaucoup surpris ses contemporains.

On peut se demander si l'exemple de Du Bois Reymond est pathologique, au sens de savoir si la plupart des fonctions continues ont leur série de Fourier convergente. On peut donner un sens précis (à l'aide du théorème de Baire) à l'expression "beaucoup de fonctions", et on montre le résultat suivant : la plupart des fonctions continues ont leur série de Fourier qui diverge en 0!!! Etonnant, n'est-ce-pas???
Consulter aussi...