$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Dualité

  Soit E un K-espace vectoriel. On appelle dual de E l'ensemble des formes linéaires de E à valeurs dans K. On le note en général E*. E* est lui-même un espace vectoriel, de même dimension que E si E est de dimension finie.

  Certaines bases de E* jouent un rôle particulier. Prenons (e1,...,en) une base de E. On note ui la forme linéaire définie par ui(x)=coefficient devant ei dans la décomposition de x dans la base (e1,...,en). Ainsi, tout x s'écrit x=u1(x)e1+...+un(x)en. On a alors la proposition suivante :

Prop : (u1,...,un) est une base de E*. On l'appelle base duale de (e1,...,en).

  On peut aussi faire le chemin dans l'autre sens, c'est-à-dire fabriquer une base de E connaissant une base de E* :
Prop : Soit (u1,...,un) une base de E*. Alors il existe une unique base (e1,...,en) de E dont (u1,...,un) soit la base duale. Dans ce cas, (e1,...,en) s'appelle base anté-duale de (u1,...,un)