$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Développements limités

Définition
  Une méthode usuelle pour étudier des fonctions et de les approcher par des fonctions plus simples. Les fonctions polynômes forment une classe de fonctions élémentaires qui se manipulent facilement vis à vis des opérations usuelles (dérivation, somme, produit, intégration, dérivation,...). Ainsi, il est naturel d'essayer d'approcher les fonctions par des polynômes.

  Les développements limités correspondent à une mise en oeuvre locale de ce programme. Chercher un développement limité d'une fonction f au voisinage d'un point a, c'est chercher un polynôme qui, au voisinage de a, se comporte comme f. Précisément:

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, à valeurs dans R, et soit x0 un point de I. On dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 s'il existe des réels a0,...,an et une fonction définie sur I et qui tend vers 0 quand x tend vers x0 tels que :
Le polynôme s'appelle la partie régulière (on dit parfois partie principale) du développement limité.

On prouve aisément qu'un développement limité, s'il existe, est unique, c'est-à-dire que si f s'écrit à la fois
et
alors pour chaque k on a ak=bk.

Développement limité et dérivabilité
  • Pour n=0 : Dire que f admet un développement limité à l'ordre 0 en x0 signifie que f s'écrit
    ce qui signifie que f admet pour limite a0 en x0, ou encore que f est continue en x0. La réciproque est claire, et on a donc :
    f admet un développement limité à l'ordre 0 en x0 si et seulement si f est continue en x0.

  • Pour n=1 : Si f admet un développement limité à l'ordre 1 en x0, alors on a
    avec a0=f(x0) d'après ci-dessus. On a donc
    ce qui entraine que f est dérivable en x0 avec f'(x0)=a1. Réciproquement, si f est dérivable en x0, alors on a
    ce qui entraine
    c'est-à-dire f admet un développement limité à l'ordre 1 en x0. On a donc prouvé:
    f admet un développement limité à l'ordre 1 en x0 si et seulement f est dérivable en x0.

  • Pour n>1 : La formule de Taylor-Young nous dit qu'une partie de l'argumentation précédente est préservée. Si f est n-fois dérivable en x0, alors f admet un développement limité à l'ordre n en x0 qui s'écrit:
    En revanche la réciproque est fausse. Par exemple la fonction f définie par
    admet un développement limité à l'ordre 2 en 0. En revanche, elle n'est pas deux fois dérivable en 0, sa dérivée
    n'étant même pas continue.

Opérations algébriques
  Les développements limités se comportent particulièrement bien vis à vis des opérations algébriques.

Théorème : Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de R contenant le point x0, admettant chacune un développement limité à l'ordre n dont la partie principale est P (respectivement Q). Alors :
  • f+g admet un développement limité à l'ordre n en x0 dont la partie principale est donnée par P+Q.
  • fg admet un développement limité à l'ordre n en x0 dont la partie principale est donnée par le produit PQ tronqué aux puissances inférieures ou égales à n.
  • si g(x0) n'est pas nul, f/g admet un développement limité à l'ordre n en x0 dont la partie principale est le quotient dans la division suivant les puissances croissantes de P par Q à l'ordre n.

Théorème : Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur des intervalles I et J de R, avec x1 élement de J et x0 élement de I. On suppose que g(x0)=x1, et que f (respectivement g) admet un développement limité à l'ordre n en x1 (resp. x0) dont la partie principale est P (respectivement Q). Alors, la fonction composée admet un développement limité à l'ordre n en x0, donné par le polynôme tronqué aux puissances inférieures ou égales à n.

Développements limités usuels
  On pourra consulter le formulaire.

Applications des développements limités
  Les développements limités sont l'outil majeur, en mathématiques, pour l'étude locale : limite de fonctions, recherche d'asymptotes, étude de la convergence de séries. Par exemple, déterminons la limite de
En utilisant les développements limités, on a :
ce qui entraîne que la limite est -1/2. Essayez de démontrer ceci sans utiliser un développement limité. C'est nettement plus difficile!
Consulter aussi...